Question

已知函数（为实数，），，⑴若，且函数的值域为，求的表达式；

⑵设，且函数为偶函数，判断是否大0？

⑶设，当时，证明：对任意实数，(其中是的导函数) ．

 

Answer 1

（1），（2）成立，（3）证明略.

【解析】

试题分析：（1）由于的表达式与有关，而确定的表达式只需求出待定系数，因此只要根据题目条件联立关于的两个关系即可；（2）由为偶函数可先确定，而可不妨假设，则，代入的表达式即可判断的符号；（3）原不等式证明等价于证明“对任意实数，” 即等价于证明“ ”，可先证，再证.根据不等式性质，可证得.

试题解析：⑴因为，所以，因为的值域为，所以，所以，所以，所以；

⑵因为是偶函数，所以，又，所以，因为，不妨设，则，又，所以，此时，所以；

⑶因为，所以，又，则，因为，所以，则原不等式证明等价于证明“对任意实数，” 即 .

先研究 ，再研究.

① 记，，令，得，当，时，单增；当，时，单减. 所以，，即.

② 记，，所以在,单减，所以，，即.

综上①、②知，.

即原不等式得证，对任意实数，.

考点：二次函数表达式的求解，分段函数求值问题，用导数工具证明不等式，不等式的性质，化归与转化的思想.