Question

已知函数f（x）=x|x-2a|，a∈R．
（1）若a=0，且f（x）=-1，求x的值；
（2）当a＞0时，若f（x）在[2，+∞）上是增函数，求a的取值范围．
（3）若a=1，求函数f（x）在区间[0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．

Answer 1

分析：（1）a=0⇒f（x）=x|x|，再由f（x）=-1即可求得x的值；
（2）由f（x）=

x2-2ax，x≥2a 2ax-x2，x＜2a

在[2，+∞）上是增函数，利用二次函数的单调性可求得a的取值范围；

（3）作出f（x）=

x(x-2)，x≥2 x(2-x) ，x＜2

的图象，对m分0＜m≤1与1＜m≤

2

+1及m＞

2

+1三种情况讨论即可求得答案．

解答：解：（1）由a=0知f（x）=x|x|，
又f（x）=-1即x|x|=-1，
∴x=-1．
（2）f（x）=

x2-2ax，x≥2a 2ax-x2，x＜2a

=

(x-a)2-a2，x≥2a -(x-a)2+a2，x＜2a

，
∵f（x）在[2，+∞）上是增函数
∴2a≤2，即a≤1，
∴0＜a≤1．
（3）f（x）=

x(x-2)，x≥2 x(2-x) ，x＜2

，f（x）图象如图
当0＜m≤1时，g（m）=f（m）=m（2-m）；
当m＞

2

+1时，g（m）=f（m）=m（m-2）；
综上g（m）=

m(2-m)，0＜m≤1 1，1＜m≤ 2 +1 m(m-2)，m＞ 2 +1

．

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，考查函数最值的应用，考查分类讨论思想与数形结合思想、方程思想的综合运用，属于难题．