Question

现有六名篮球运动员进行传球训练，由甲开始传球（第一次传球是由甲传向其他五名运动员中的一位），若第n次传球后，球传回到甲的不同传球方式的种数记为a_n．
（1）求出a₁、a₂的值，并写出a_n与a_n-1（n≥2）的关系式；
（2）证明数列{

an

5n

-

1

6

}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（3）当n≥2时，证明：

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

3

10

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）第n-1次传球后，不同传球方式种数为5^n-1，不在甲手中的种数为5^n-1-a_n-1，由此能求出a₁、a₂的值，并写出a_n与a_n-1（n≥2）的关系式．
（2）由a_n=-a_n-1+5^n-1，得

an

5n

-

1

6

=-

1

5

(

an-1

5n-1

-

1

6

)，由此能证明数列{

an

5n

-

1

6

}是以-

1

6

为首项，-

1

5

为公比的等比数列，从而能求出an=

5n+5(-1)n

6

．
（3）当n（n≥3）为奇数时，则n-1为偶数，

1

an-1

+

1

an

=

6

5n-1+5

+

6

5n-5

=

3

10

[1-(

1

5

)n-1]＜

3

10

；当n（n≥2）为偶数时，则n+1为奇数，从而(

1

a2

+

1

a3

)…+(

1

an

+

1

an+1

)＜

3

10

，由此能证明当n≥2时，

1

a2

+

1

a3

…+

1

an

＜

3

10

．

解答： （本小题满分13分）
（1）解：a₁=0，a₂=5，
第n-1次传球后，不同传球方式种数为5^n-1，
不在甲手中的种数为5^n-1-a_n-1，
∴当n≥2时，an=5n-1-an-1…（5分）
（2）解：由a_n=-a_n-1+5^n-1，得

an

5n

-

1

6

=-

1

5

(

an-1

5n-1

-

1

6

)，
又

a1

5

-

1

6

=-

1

6

，
则数列{

an

5n

-

1

6

}是以-

1

6

为首项，-

1

5

为公比的等比数列．
从而

an

5n

-

1

6

=-

1

6

•(-

1

5

)n-1，
故an=

5n+5(-1)n

6

．…（9分）
（3）证明：当n（n≥3）为奇数时，则n-1为偶数，

1

an-1

+

1

an

=

6

5n-1+5

+

6

5n-5

=6•

5n-1+5n

5n-1•5n+5•5n-5•5n-1-25

=6•

5n-1+5n

5n-1•5n+4•5n-25

＜6•

5n-1+5n

5n-1•5n

=6(

1

5n-1

+

1

5n

)

1

a2

+

1

a3

…+

1

an

=(

1

a2

+

1

a3

)+…+(

1

an-1

+

1

an

)
＜6[(

1

52

+

1

53

)+…+(

1

5n-1

+

1

5n

)]
=6

1 25 [1-( 1 5 )n-1]

1- 1 5

=

3

10

[1-(

1

5

)n-1]＜

3

10

当n（n≥2）为偶数时，则n+1为奇数，
从而(

1

a2

+

1

a3

)…+(

1

an

+

1

an+1

)＜

3

10

综上，当n≥2时，

1

a2

+

1

a3

…+

1

an

＜

3

10

．…（13分）

点评：本题考查a_n与a_n-1（n≥2）的关系式的求法，考查数列{

an

5n

-

1

6

}是等比数列，考查数列{a_n}的通项公式的求法，考查不等式的证明，注意构造法的合理运用．