Question

【题目】已知数列{an}，an≥0，a1=0，an+12+an+1﹣1=an2（n∈N）．记Sn=a1+a2+…+an ． Tn= + +…+ ．求证：当n∈N*时
（1）0≤an＜an+1＜1；
（2）Sn＞n﹣2；
（3）Tn＜3．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为an+12+an+1﹣1=an2，（1）所以an2+an﹣1=an﹣12，（2）

，

所以an+1﹣an与an﹣an﹣1同号，即与a2﹣a1一致．

因为 ，且a2﹣a1＞0，

∴an+1﹣an＞0，

∵ ，

∴ ，

即an+1＜1

综上所述：0≤an＜an+1＜1对任何n∈N*都成立．

（2）证明：由 ，k=1，2，…，n﹣1（n≥2），

得 ．

因为a1=0，所以 ．

∵an＜1，

所以Sn＞n﹣2．

（3）证明：由 ，得

所以 ，

于是 ，

故当n≥3时， ，

又因为T1＜T2＜T3，

所以Tn＜3．

【解析】（1）先证明an+1﹣an＞0，再证明an+1＜1．（2）由ak+12+ak+1﹣1=ak2 ， 对k取1，2，…，n﹣1时的式子相加得Sn ， 最后对Sn进行放缩即可证得．（3）利用放缩法由 ，得 ，即可得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的通项公式的相关知识，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．