Question

18．已知向量$\overrightarrow a=（{2sinθ，1}）$，$\overrightarrow b=（{2cosθ，-1}）$，其中$θ∈（{0，\frac{π}{2}}）$．
（1）若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，求角θ的大小；
（2）若$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2|{\overrightarrow b}|$，求tanθ的值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，得4cosθsinθ-1=0，从而$sin2θ=\frac{1}{2}$，由此能求出角θ．
（2）由$\overrightarrow a-\overrightarrow b=（2sinθ-2cosθ，2）$，$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2|{\overrightarrow b}|$，得得sin²θ-2sinθcosθ-3cos²θ=0，从而（tanθ-3）（tanθ+1）=0，由此能求出tanθ=3．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）∵向量$\overrightarrow a=（{2sinθ，1}）$，$\overrightarrow b=（{2cosθ，-1}）$，其中$θ∈（{0，\frac{π}{2}}）$．
∴由$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，得$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，即4cosθsinθ-1=0，
即$sin2θ=\frac{1}{2}$，因为$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，所以2θ∈（0，π），
所以$2θ=\frac{π}{6}$或$2θ=\frac{5π}{6}$，解得$θ=\frac{π}{12}$或$θ=\frac{5π}{12}$．（6分）
（2）$\overrightarrow a-\overrightarrow b=（2sinθ-2cosθ，2）$，由$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2|{\overrightarrow b}|$，得${（\overrightarrow a-\overrightarrow b）^2}=4{\overrightarrow b^2}$，
即4（sinθ-cosθ）²+4=16cos²θ+4，整理得sin²θ-2sinθcosθ-3cos²θ=0，
因为$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，所以cosθ≠0，
等式两边同时除以cos²θ得，tan²θ-2tanθ-3=0，即（tanθ-3）（tanθ+1）=0，
解得tanθ=3或tanθ=-1，
因为$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，所以tanθ=3．（14分）

点评 本题考查角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向理垂直、三角函数恒等式、二倍角公式的合理运用．