Question

14．已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₂=4，a₃+a₄=24．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂2ⁿ，求数列{a_n+b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵a₂=4，a₃+a₄=24，∴a₁q=4，${a}_{1}（{q}^{2}+{q}^{3}）$=24．
联立解得a₁=q=2，∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=log₂2ⁿ=n，
∴数列{a_n+b_n}的前n项和T_n=（2+2²+…+2ⁿ）+（1+2+…+n）=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$+$\frac{n（n+1）}{2}$=2ⁿ⁺¹-2+$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．