Question

6．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{（\frac{1}{2}）}^x}-1\;，\;x≤0}\\{-{x^2}+x\;，\;x＞0}\end{array}}$，则函数g（x）=f（log_ax）（其中0＜a＜1）的单调递减区间是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$]
• B． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． [$\sqrt{a}$，1）
• D． （0，$\sqrt{a}$]

Answer 1

分析 根据分段函数的单调性，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：作出函数f（x）的图象如图：
则当x≤0或x≥$\frac{1}{2}$时，函数f（x）为减函数，
当0＜x≤$\frac{1}{2}$时，函数f（x）为增函数，
设t=log_ax，则g（x）=f（t），
∵0＜a＜1，∴t=log_ax为减函数，
∴由复合函数单调性的关系得要求函数g（x）的减区间，等价为求函数f（x）的增区间，
由0＜log_ax≤$\frac{1}{2}$，得$\sqrt{a}$≤x＜1，
即函数g（x）的单调递减区间为[$\sqrt{a}$，1），
故选：C

点评 本题主要考查函数单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系结合分段函数的单调性的性质是解决本题的关键．