Question

在△ABC中，AB=2

5

，AC=3，sinC=2sinA．
（Ⅰ）求△ABC的面积S；
（Ⅱ）求cos（2A+

2π

3

）的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由AB，AC，以及sinC=2sinA，利用正弦定理求出BC的长，再利用余弦定理表示出cosA，将三边上代入求出cosA的值，进而确定出sinA的值，由AB，AC，以及sinnA的值，利用三角形面积公式即可求出△ABC的面积S；
（Ⅱ）由sinA与cosA的值，利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，AB=2

5

，AC=3，sinC=2sinA，
∴根据正弦定理：

AB

sinC

=

BC

sinA

，得BC=

ABsinA

sinC

=

1

2

AB=

5

，
根据余弦定理得：cosA=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=

2 5

5

，
∵A∈（0，π），∴sinA=

1-cos2A

=

5

5

，
则S=

1

2

AB•AC•sinA=

1

2

×2

5

×3×

5

5

=3；
（Ⅱ）∵sinA=

5

5

，cosA=

2 5

5

，
∴sin2A=2sinAcosA=

4

5

，cos2A=cos²A-sin²A=

3

5

，
∴cos（2A+

2π

3

）=cos2Acos

2π

3

-sin2Asin

2π

3

=

3

5

×（-

1

2

）-

4

5

×

3

2

=

-3-4 3

10

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．