Question

已知点F₁（-1，0），F₂（1，0）分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（1，

2

2

）在椭圆上C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l₁：y=kx+m，l₂：y=kx-m，若l₁、l₂均与椭圆C相切，试探究在x轴上是否存在定点M，点M到l₁，l₂的距离之积恒为1？若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由题意可知：

c=1 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，解得即可．
（II）把直线l₁的方程与椭圆的方程联立可得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，由于直线与椭圆相切，可得△=0，m²=1+2k²．设M（t，0），利用点到直线的距离公式可得m，k，t的关系式，代入星期日m即可得出t的值．

解答： 解：（I）由题意可知：

c=1 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，解得b=c=1，a²=2．
∴椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2=1．
（II）把直线l₁的方程与椭圆的方程联立可得

y=kx+m x2+2y2=2

，
化为（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，
∵直线l₁与椭圆相切，∴△=16m²k²-4（1+2k²）（2m²-2）=0，化为m²=1+2k²．
同理把直线l₂的方程与椭圆的方程联立也可得m²=1+2k²．
假设存在定点M（t，0）满足条件，则

|kt+m|

1+k 2

•

|kt-m|

1+k2

=1，
化为|k²t²-m²|=1+k²，
把m²=1+2k²代入上式化为k²（t²-3）=2或k²（t²-1）=0．
其中k²（t²-3）=2不是对于任意k恒成立，应舍去．
由k²（t²-1）=0对于任意k恒成立，可得t=±1．
综上可知：满足题意的点M存在，为（±1，0）．

点评：本题主要考查了椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于难题．