Question

已知函数f（x）=ax²+x-a，a∈R
（1）若不等式f（x）有最大值

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，求实数a的值；
（2）若不等式f（x）＞-2x²-3x+1-2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若a＜0，解不等式f（x）＞1．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由

-4a2-1

4a

=

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8

，解出即可；（2）通过讨论a的范围，得不等式组，解出即可；
（3）问题者解不等式（x-1）（ax+a+1）＞0，通过讨论a的范围，从而求出不等式的解集．

解答： 解：（1）由题意a＜0，且

-4a2-1

4a

=

17

8

，解得：a=-2或a=-

1

8

；
（2）由f（x）＞-2x²-3x+1-2a，得（a+2）x²+4x+a-1＞0，
若a=-2，不等式4x-3＞0不对一切实数x恒成立，舍去，
若a≠-2，由题意得

a+2＞0 △=16-4(a+2)(a-1)＜0

，解得：a＞2，
故a的范围是：（2，+∞）；
（3）不等式为ax²+x-a-1＞0，即（x-1）（ax+a+1）＞0，
∵a＜0，∴（x-1）（x+

a+1

a

）＜0，
∵1-（-

a+1

a

）=

2a+1

a

，
∴-

1

2

＜a＜0时，1＜-

a+1

a

，解集为：{x|1＜x＜-

a+1

a

}，
a=-

1

2

时，（x-1）²＜0，解集为∅，
a＜-

1

2

时，1＞-

a+1

a

，解集为{x|-

a+1

a

＜x＜1}．

点评：本题考查了二次函数的性质，求不等式的解集，求参数的范围，考查了分类讨论思想，是一道中档题．