Question

已知函数f（x）=

-x2+3x+10

，求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：由-x²+3x+10≥0先求出原函数的定义域，然后令t=-x²+3x+10，则y=

t

，再按照“同增异减”的原则在定义域内求出原函数的单调期间．

解答： 解：由-x²+3x+10≥0解得-2≤x≤5，
所以原函数的定义域为[-2，5]，
令t=-x²+3x+10，则y=

t

，
对于二次函数t=-x²+3x+10，其图象开口向下，对称轴x=

3

2

，
借助图象可知，其在[-2，

3

2

]上递增，在（

3

2

，5]递减，
因此，当x∈[-2，

3

2

]时，t随着x的增大而增大，则y=

t

也跟着增大，所以函数y=

-x2+3x+10

在[-2，

3

2

]上单调递增；
同理，当x∈（

3

2

，5]时，t随着x的增大而减小，则y=

t

也跟着减小，所以函数y=

-x2+3x+10

在（

3

2

，5]上单调递减．
所以原函数的单调递增区间为[-2，

3

2

]，递减区间为（

3

2

，5]．

点评：对于此类问题，首先强调定义域优先的原则，此例研究了求复合函数的单调性的方法，遵循“同增异减”的原则，关键是弄清内外函数单调性，再进行求解．