Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）试用

AD

， 

AP

， 

AB

表示

BE

，并判断直线BE与平面PAD的位置关系；
（2）若BE⊥平面PCD，求异面直线PD与BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）建立如图所示空间直角坐标系，设AB=a，PA=b，求出各个点的坐标，由

BE

=

1

2

AD

+

1

2

AP

，
可得BE∥平面PAD．
（2）由

BE

•

PC

=0，得到b=2a，求得

PD

、

BC

的坐标，由cos＜

PD

，

BC

＞=

4a2

2 2 a• 5 a

求得
异面直线PD与BC所成角的余弦值．

解答：解：设AB=a，PA=b，建立如图所示空间直角坐标系，
A（0，0，0），B（a，0，0），P（0，0，b），C（2a，2a，0），D（0，2a，0），E(a，a，

b

2

)．
（1）证明：

BE

=(0，a，

b

2

)，

AD

=(0，2a，0)，

AP

=(0，0，b)，
所以

BE

=

1

2

AD

+

1

2

AP

，
BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD．
（2）∵BE⊥平面PCD，∴BE⊥PC，即

BE

•

PC

=0．

PC

=(2a，2a，-b)，∴

BE

•

PC

=2a2-

b2

2

=0，即b=2a．

PD

=(0，2a，-2a)，

BC

=(a，2a，0)，cos＜

PD

，

BC

＞=

4a2

2 2 a• 5 a

=

10

5

，
所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为

10

5

．

点评：本题考查利用向量证明线面平行，利用向量求异面直线成的角的余弦值，准确求出向量的坐标是解题的关键．