Question

已知函数f（x）=x-ln（x+a）在（-a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
（1）求实数a的值；
（2）若m＞n＞0，求证：lnm-lnn＜

m+n

n

；
（3）若关于x的方程f（x）+2x=x²+λ在[

1

2

，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，由条件，可得f′（1）=0，即可求a的值；
（2）利用分析法，转化证明lnx＜x-1，x＞1即可；
（3）原方程可化为x²-3x+lnx+λ=0，x∈[

1

2

，2]，构造新函数，确定单调性与最值，即可求实数λ的取值范围．

解答：（1）解：由题意，f′（x）=1-

1

x+a

∵函数f（x）=x-ln（x+a）在（-a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
∴f′（1）=0
∴a=0；
（2）证明：∵m＞n＞0，∴要证明lnm-lnn＜

m+n

n

，只需要证明ln

m

n

＜

m

n

-1
只需要证明lnx＜x-1，x＞1
记g（x）=lnx-x=-f（x）
∴g（x）在（1，+∞）上单调递减
∴g（x）＜g（1）=-1，即lnx-x＜-1
∴lnm-lnn＜

m+n

n

；
（3）解：∵f（x）+2x=x²+λ，f（x）=x-lnx
∴原方程可化为x²-3x+lnx+λ=0，x∈[

1

2

，2]
记h（x）=x²-3x+lnx+λ，x∈[

1

2

，2]
则h′(x)=

(x-1)(2x-1)

x

∴x∈(

1

2

，1)时，h′（x）＜0，x∈（1，2）时，h′（x）＞0，
∵h(

1

2

)=-

5

4

-ln2+λ，h（2）=-2+ln2+λ，h（1）=-2+λ，h(2)-h(

1

2

)=-

3

4

+ln4＞0
∴h(1)＜h(

1

2

)＜h(2)
∴

h( 1 2 )≥0 h(1)＜0

∴

- 5 4 -ln2+λ≥0 -2+λ＜0

∴

5

4

+ln2≤λ＜2．

点评：本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．