Question

19．已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）可利用辅助角公式化为f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（ωx+φ） （其中tanφ=$\frac{b}{a}$）．若f（x）的周期为π，且对一切x∈R，都有f（x）$≤f（\frac{π}{12}）=4$；
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若g（x）=f（$\frac{π}{6}-x$），求函数g（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）由题意利用辅助角公式，正弦函数的周期性、最值，求得ω、a、b的值，可得函数的解析式．
（2）化简函数g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数g（x）的单调增区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）=asinωx+bcosωx=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（ωx+φ）（其中tanφ=$\frac{b}{a}$），
又周期$T=\frac{2π}{ω}=π$，∴ω=2，即f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（2x+φ）．
∵对一切x∈R，都有f（x）$≤f（\frac{π}{12}）=4$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{{a^2}+{b^2}}=4}\\{asin\frac{π}{6}+bcos\frac{π}{6}=2}\end{array}}\right.$，解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，
∴f（x）的解析式为：$f（x）=2sin2x+2\sqrt{3}cos2x$，即$f（x）=4sin（2x+\frac{π}{3}）$．  
（2）∵$g（x）=f（\frac{π}{6}-x）=4sin[{2（\frac{π}{6}-x）+\frac{π}{3}}]=4sin（-2x+\frac{2π}{3}）=-4sin（2x-\frac{2π}{3}）$，
∴g（x）的增区间是函数y=sin$（2x-\frac{2π}{3}）$的减区间．
∴由2kππ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{2π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得$kπ+\frac{7π}{12}≤x≤kπ+\frac{13π}{12}，（k∈Z）$，
∴g（x）的增区间为[kπ+$\frac{7π}{12}$，kπ+$\frac{13π}{12}$]，（k∈Z）．

点评 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的周期性、最值以及单调性，属于中档题．