Question

8．已知复数ω是1的一个立方根，则1+ω+ω²+…+ω²⁰¹⁷的所有可能值组合成的集合为{2018，$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$}．

Answer 1

分析 由复数ω是1的一个立方根，得到ω=1，或ω=-$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，或ω=-$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，由此能求出1+ω+ω²+…+ω²⁰¹⁷的所有可能值组合成的集合．

解答 解：∵复数ω是1的一个立方根，
∴ω=1，或ω=-$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，或ω=-$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，
当ω=1时，1+ω+ω²+…+ω²⁰¹⁷=$\underset{\underbrace{1+1+…+1}}{2018个}$=2018，
当ω=-$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$时，1+ω+ω²+…+ω²⁰¹⁷=1+[（-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}i$）+（-$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$）+1]×672+（-$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$）
=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$．
当ω=-$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$i时，1+ω+ω²+…+ω²⁰¹⁷=1+[（-$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$）+（-$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$i）+1]×672+（-$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$）
=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$．
∴1+ω+ω²+…+ω²⁰¹⁷的所有可能值组合成的集合为{2018，$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$}．
故答案为：{2018，$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$}．

点评 本题考查等比数列的前2017项和的可能取值构成的集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分组求和法、复数性质的合理运用．