Question

17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log₂x，g（x）=2log₂（2x+a），a∈R
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对任意x∈[1，4]，f（4x）≤g（x），求实数a的取值范围；
（3）设a＞-2，求函数h（x）=g（x）-f（x），x∈[1，2]的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的性质求出f（x）在（-∞，0）上的解析式，再结合f（0）=0得出f（x）在定义域上的解析式；
（2）分离参数可得a≥2$\sqrt{x}$-2x，利用换元法求出右侧函数的最大值即可得出a的范围；
（3）讨论a的范围，判断h（x）的单调性，从而可得h（x）的最小值．

解答 解：（1）若x＜0，则-x＞0，∴f（-x）=log₂（-x），
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-log₂（-x），
又f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x＞0}\\{0，x=0}\\{-lo{g}_{2}（-x），x＜0}\end{array}\right.$．
（2）由f（4x）≤g（x）得log₂（4x）≤2log₂（2x+a），
∴（2x+a）²≥4x，
∵2x+a＞0，x＞0，
即2x+a≥2$\sqrt{x}$，∴a≥2$\sqrt{x}$-2x，
设$\sqrt{x}$=t，则t∈[1，2]，令p（t）=2t-2t²，
则p（t）在[1，2]上单调递减，
∴-4≤p（t）≤0．
∴a≥0．
（3）h（x）=g（x）-f（x）=2log₂（2x+a）-log₂x=log₂$\frac{（2x+a）^{2}}{x}$，
令q（x）=$\frac{（2x+a）^{2}}{x}$=4x+$\frac{{a}^{2}}{x}$+4a，
令q′（x）=0得x=$\frac{|a|}{2}$，
①若$\frac{|a|}{2}$≤1即-2＜a≤2时，q（x）在[1，2]上单调递增，
∴q（x）的最小值为q（1）=a²+4a+4=（a+2）²，
∴h（x）的最小值为log₂（a+2）²=2log₂（a+2）；
②若$\frac{|a|}{2}$≥2即a≥4时，q（x）在[1，2]上单调递减，
∴q（x）的最小值为q（2）=8+$\frac{{a}^{2}}{2}$+4a=$\frac{1}{2}$（a+4）²，
∴h（x）的最小值为log₂[$\frac{1}{2}$（a+4）²]=-1+2log₂（a+4）；
③若1＜$\frac{|a|}{2}$＜2即2＜a＜4时，q（x）在[1，2]上先减后增，
∴q（x）的最小值为q（$\frac{a}{2}$）=8a，
∴h（x）的最小值为log₂（8a）=3+log₂a．
综上：当-2＜a≤2时，h（x）的最小值为2log₂（a+2）；
当2＜a＜4时，h（x）的最小值为3+log₂a；
当a≥4时，h（x）的最小值为-1+2log₂（a+4）．

点评 本题考查了奇函数的性质，函数单调性与函数最值的计算，考查分类讨论思想，属于中档题．