Question

12．已知定义在R上的偶函数f（x）满足：0≤x≤1时，f（x）=-x³+3x，且f（x-1）=f（x+1），若方程f（x）=log_a（|x|+1）+1（a＞0，a≠1）恰好有12个实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （5，6）
• B． （6，8）
• C． （7，8）
• D． （10，12）

Answer 1

分析 作出f（x）与y=log_a（|x|+1）+1的函数图象，根据函数图象的交点个数列出不等式组得出a的范围．

解答 解：∵f（x-1）=f（x+1），∴f（x）的周期为2，
作出y=f（x）与y=log_a（|x|+1）+1的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）与y=log_a（|x|+1）+1都是偶函数，
∴两函数在（0，+∞）有6个不同交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}6+1＜2}\\{lo{g}_{a}8+1＞2}\\{a＞1}\end{array}\right.$，解得6＜a＜8．
故选B．

点评 本题考查了方程根与函数图象的关系，属于中档题．