Question

4．已知椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右顶点为（1，0），且离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上焦点为F，过F且斜率为-$\sqrt{2}$的直线l与椭圆C交于A，B两点，若$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$（其中O为坐标原点），求点P的坐标及四边形OAPB的面积．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的右顶点为（1，0），且离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，列出方程组，求出a=$\sqrt{2}$，b=1，由此能求出椭圆C的方程．
（2）直线l的方程为$y=-\sqrt{2}x+1$代入椭圆$\frac{y^2}{2}+{x^2}=1$，得$4{x^2}-2\sqrt{2}x-1=0$，由此利用韦达定理、向量知识、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件能求出点P的坐标及四边形OAPB的面积．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右顶点为（1，0），且离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{b=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{y^2}{2}+{x^2}=1$…（3分）
（2）∵F（0，1），∴直线l的方程为$y=-\sqrt{2}x+1$
代入椭圆$\frac{y^2}{2}+{x^2}=1$，得$4{x^2}-2\sqrt{2}x-1=0$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），则${x_1}+{x_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，{x_1}{x_2}=-\frac{1}{4}$，
∵$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，即（x₃，y₃）=（x₁，y₁）+（x₂，y₂），
∴${x_3}={x_1}+{x_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，{y_3}={y_1}+{y_2}=-\sqrt{2}（{x_1}+{x_2}）+2=1$，
∴$P（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$…（8分）
$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{3}\sqrt{{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}-4×（-\frac{1}{4}）}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
原点O到直线l的距离为$d=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
四边形OAPB的面积$S=2{S_{△OAB}}=|{AB}|•d=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$…．（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查点P的坐标及四边形OAPB的面积的求法，考查椭圆、韦达定理、向量知识、弦长公式、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．