Question

15．若a，b是函数f（x）=x²-px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，c＜0且a，b，c这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则$\frac{p}{{b}^{2}}$$+\frac{q}{a}$-2c的最小值等于（　　）

• A． 9
• B． 10
• C． 3
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，c这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b的关系，代入化简，再由基本不等式得答案．

解答 解：∵a，b是函数f（x）=x²-px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，
即a，b是一元二次方程x²-px+q=0（p＞0，q＞0）的两个根，
∴根据一元二次方程的韦达定理可得a+b=p，ab=q，（a＞0，b＞0，a≠b），
由题意可得ab=c²，b+c=2a，
消去c可得ab=（2a-b）²=4a²-4ab+b²，
即为（a-b）（4a-b）=0，
解得b=4a（b=a舍去），
则$\frac{p}{{b}^{2}}$$+\frac{q}{a}$-2c=$\frac{a+b}{{b}^{2}}$+$\frac{ab}{a}$-2（2a-b）=8a+$\frac{5}{16a}$≥2$\sqrt{8a•\frac{5}{16a}}$=$\sqrt{10}$，
当且仅当8a=$\frac{5}{16a}$，即a=$\frac{\sqrt{10}}{16}$时，取得等号．
则所求的最小值为$\sqrt{10}$．
故选：D．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，考查韦达定理和等差数列、等比数列中项的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．