Question

10．已知数列{a_n}是公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，其前n项和为S_n，且1-a₂是a₁与1+a₃的等比中项，数列{b_n}是等差数列，其前n项和T_n满足T_n=nλ•b_n+1（λ为常数，且λ≠1），其中b₁=8．
（1）求数列{a_n}的通项公式及λ的值； 
（2）比较$\frac{1}{T_1}+\frac{1}{T_2}+\frac{1}{T_3}+…+\frac{1}{T_n}$与$\frac{1}{2}{S_n}$的大小．

Answer 1

分析 （1）由题意得（1-a₂）²=a₁（a₃+1），即（1-$\frac{1}{2}{a}_{1}$）²=a₁（$\frac{1}{4}{a}_{1}$+1），推导出a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ．设等差数列{b_n}的公差为d，由$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{1}=λ{b}_{2}}\\{{T}_{2}=2λ{b}_{3}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{8=λ（8+d）}\\{16+d=2λ（8+2d）}\end{array}\right.$，求出λ=$\frac{1}{2}$．
（2）由S_n=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，得$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}-（\frac{1}{2}）^{n+1}≥\frac{1}{4}$，由T_n=$\frac{1}{2}n{b}_{n+1}$，求出b_n=8n，T_n=4n²+4n，从而$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，由此利用裂项求和法能推导出$\frac{1}{T_1}+\frac{1}{T_2}+\frac{1}{T_3}+…+\frac{1}{T_n}$＜$\frac{1}{2}{S}_{n}$．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，其前n项和为S_n，且1-a₂是a₁与1+a₃的等比中项，
∴由题意得（1-a₂）²=a₁（a₃+1），即（1-$\frac{1}{2}{a}_{1}$）²=a₁（$\frac{1}{4}{a}_{1}$+1），
解得a₁=$\frac{1}{2}$．故a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
设等差数列{b_n}的公差为d，
∵数列{b_n}是等差数列，其前n项和T_n满足T_n=nλ•b_n+1（λ为常数，且λ≠1），其中b₁=8．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{1}=λ{b}_{2}}\\{{T}_{2}=2λ{b}_{3}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{8=λ（8+d）}\\{16+d=2λ（8+2d）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1}{2}}\\{d=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{λ=1}\\{d=0}\end{array}\right.$（舍去），故λ=$\frac{1}{2}$..…（5分）
（2）由（1）知S_n=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，则$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}-（\frac{1}{2}）^{n+1}≥\frac{1}{4}$．①
由（1）知T_n=$\frac{1}{2}n{b}_{n+1}$，
当n=1时，T₁=b₁=$\frac{1}{2}$b₂，即b₂=2b₁=16，
∴公差d=b₂-b₁=8，则b_n=8n，又T_n=nλ•b_n+1，
∴T_n=4n²+4n，即$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴$\frac{1}{T_1}+\frac{1}{T_2}+\frac{1}{T_3}+…+\frac{1}{T_n}$=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）＜\frac{1}{4}$．②
由①②可知$\frac{1}{T_1}+\frac{1}{T_2}+\frac{1}{T_3}+…+\frac{1}{T_n}$＜$\frac{1}{2}{S}_{n}$..…（12分）

点评 本题考查数列的通项公式及实数值的求法，考查两个数列和关于前n项和代数式的大小的判断，考查等经数列、等差数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．