Question

6．已知平面向量$\overline{a}$，$\overline{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，且|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{{b}^{2}}$=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$，得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，又|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=5，即可求出|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{{b}^{2}}$=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$，
∴$4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$．
∵|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=5，
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．