Question

9．已知数列{a_n}满足$\frac{a_1}{2}•\frac{a_2}{5}•\frac{a_3}{8}…\frac{a_n}{3n-1}=3n+2（n∈{N^*}）$，S_n为{a_n}的前n项和，则S₁₀=（　　）

• A． 210
• B． 180
• C． 185
• D． 190

Answer 1

分析 由$\frac{a_1}{2}•\frac{a_2}{5}•\frac{a_3}{8}…\frac{a_n}{3n-1}=3n+2（n∈{N^*}）$，得$\frac{a_1}{2}•\frac{a_2}{5}•\frac{a_3}{8}…\frac{a_n-1}{3n-4}=3n-1$，（n≥2），$\frac{{a}_{n}}{3n-1}$=$\frac{3n+2}{3n-1}$，从而a_n=3n+2，n≥2．a₁=10，由此能求出S₁₀．

解答 解：∵$\frac{a_1}{2}•\frac{a_2}{5}•\frac{a_3}{8}…\frac{a_n}{3n-1}=3n+2（n∈{N^*}）$，①
∴$\frac{a_1}{2}•\frac{a_2}{5}•\frac{a_3}{8}…\frac{a_n-1}{3n-4}=3n-1$，（n≥2），②
①÷②，得$\frac{{a}_{n}}{3n-1}$=$\frac{3n+2}{3n-1}$，
∴a_n=3n+2，n≥2．
当n=1时，$\frac{{a}_{1}}{2}=3+2=5$，解得a₁=10，
∵S_n为{a_n}的前n项和，
∴S₁₀=10+3（2+3+…+10）+18=190．
故选：D．

点评 本题考查数列的前10项和的求法，考查等差数列、作商法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．