Question

4．在△ABC中，角A、B、C分别对应边a，b，c．若9a²+9b²-19c²=0，求$\frac{\frac{1}{tanC}}{\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}}$的值．

Answer 1

分析 由题意可得 a²+b²=$\frac{19}{9}$c²，再利用同角三角函数的基本关系、正弦定理、余弦定理，化简所给的式子，可得结果．

解答 解：△ABC中，∵9a²+9b²-19c²=0，∴a²+b²=$\frac{19}{9}$c²，
$\frac{\frac{1}{tanC}}{\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}}$=$\frac{\frac{cosC}{sinC}}{\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosB}{sinB}}$=$\frac{\frac{cosC}{sinC}}{\frac{sin（A+B）}{sinAsinB}}$=$\frac{sinAsinB}{{sin}^{2}C}$•cosC=$\frac{ab}{{c}^{2}}$•$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{{2c}^{2}}$=$\frac{\frac{1{0c}^{2}}{9}}{{2c}^{2}}$=$\frac{5}{9}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．