Question

1．已知离心率为$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$的双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}=1$，（a＞0）的左焦点与抛物线y²=mx的焦点重合，则实数m=-12．

Answer 1

分析 先由双曲线的离心率求出a的值，由此得到双曲线的左焦点，再求出抛物线y²=mx的焦点坐标，利用它们焦点重合，从而求出实数m．

解答 解：∵双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}=1$的离心率为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{\sqrt{{a}^{2}+4}}{a}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$⇒a²=5，
双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}=1$的左焦点是（-3，0），
抛物线y²=mx的焦点（$\frac{m}{4}$，0）
∴$\frac{m}{4}$=-3⇒m=-12．
故答案为：-12．

点评 本题考查抛物线的简单性质、双曲线的性质和应用，考查了学生对基础知识的综合把握能力．属于基础题．