Question

13．已知a＞0，b＞0，且$\sqrt{3}$是3^a与3^b的等比中项，若$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$≥2m²+3m恒成立，则实数m的取值范围是[-3，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 运用等比中项的定义，可得a+b=1，$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）=1+4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$，运用基本不等式可得最小值9，再由不等式恒成立可得2m²+3m≤9，解不等式可得m的范围．

解答 解：a＞0，b＞0，且$\sqrt{3}$是3^a与3^b的等比中项，
可得3^a•3^b=（$\sqrt{3}$）²，
即有a+b=1，
$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）=1+4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$=5+4=9，
当且仅当b=2a=$\frac{2}{3}$时，取得等号，即最小值为9．
由$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$≥2m²+3m恒成立，可得2m²+3m≤9，
解得-3≤m≤$\frac{3}{2}$．
故答案为：[-3，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，以及等比中项的定义，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．