Question

3．下列命题中真命题的是（　　）

• A． 若a＞b，则ac²＞bc²
• B． 实数a，b，c满足b²=ac，则a，b，c成等比数列
• C． 若$θ∈（{0，\frac{π}{2}}）$，则$y=sinθ+\frac{2}{sinθ}$的最小值为$2\sqrt{2}$
• D． 若数列{n²+λn}为递增数列，则λ＞-3

Answer 1

分析 由a＞b，c=0，即可判断A；由a=b=c=0，满足b²=ac，即可判断B；
令t=sinθ∈（0，1），求出y=t+$\frac{2}{t}$的导数，判断单调性，即可判断C；
由递增数列可得（n+1）²+λ（n+1）＞n²+λn，由分离参数可得λ＞-2n-1恒成立，
当n=1时，不等式右边取得最大值，即可判断D．

解答 解：对于A，若a＞b，c=0，则ac²=bc²，故A错；
对于B，实数a，b，c满足b²=ac，且a=b=c=0，则a，b，c不成等比数列，故B错；
对于C，若$θ∈（{0，\frac{π}{2}}）$，则t=sinθ∈（0，1），y=t+$\frac{2}{t}$的导数为y′=1-$\frac{2}{{t}^{2}}$，
在0＜t＜1，函数y递减，即有y＞1+2=3，且无最小值，故C错；
对于D，若数列{n²+λn}为递增数列，即有（n+1）²+λ（n+1）＞n²+λn，
即为λ＞-2n-1恒成立，由n=1，-2n-1取得最大值-3，可得λ＞-3．故D对．
故选：D．

点评 本题考查命题的真假判断，主要是不等式的性质和等比数列中项的性质，以及基本不等式的运用和递增数列的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．