Question

17．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，左焦点F₁到直线$x=-\frac{a^2}{c}$的距离为3，圆N的方程为（x-c）²+y²=a²+c²（c为半焦距），直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别设为A，B．
（1）求椭圆M的方程和直线l的方程；
（2）在圆N上是否存在点P，使$\frac{|PB|}{|PA|}=2\sqrt{2}$，若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，左焦点F₁到直线$x=-\frac{a^2}{c}$的距离为3，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆M的方程；由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用根的判别式、点到直线距离公式能求出直线l的方程．
（2）将k=$\frac{1}{2}$，m=2代入，得A（-1，$\frac{3}{2}$），过切点B的半径所在的直线l′：y=-2x+2，与直线l的方程联立得B（0，2），设P（x₀，y₀），由$\frac{|PB|}{|PA|}$=2$\sqrt{2}$，得7${{x}_{0}}^{2}$+7${{y}_{0}}^{2}$+16x₀-20y₀+22=0，再由P（x₀，y₀）满足${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-2{x}_{0}$=4，能求出存在P（-1，1）或P（-$\frac{9}{13}$，$\frac{19}{13}$）满足条件．

解答 解：（1）∵椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，左焦点F₁到直线$x=-\frac{a^2}{c}$的距离为3，
∴由题意知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}-c=3}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1．…（1分）
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴椭圆M的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，…（2分）
圆N的方程为（x-1）²+y²=5，
∵直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆M只有一个公共点，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，①
∴△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，
整理得m²=3+4k²，②…（5分）
由直线l：y=kx+m与N只有一个公共点，得$\frac{|k+m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，即k²+2km+m²=5+5k²，③
将②代入③得km=1，④由②④得k=$\frac{1}{2}$，m=2．
∴直线l：y=$\frac{1}{2}$x+2．…（7分）
（2）将k=$\frac{1}{2}$，m=2代入①可得A（-1，$\frac{3}{2}$），
又过切点B的半径所在的直线l′：y=-2x+2，
与直线l的方程联立得B（0，2），…（8分）
设P（x₀，y₀），由$\frac{|PB|}{|PA|}$=2$\sqrt{2}$，得$\frac{{x_0^2+{{（{y_0}-2）}^2}}}{{{{（{x_0}+1）}^2}+{{（{y_0}-\frac{3}{2}）}^2}}}=8$，
化简得7${{x}_{0}}^{2}$+7${{y}_{0}}^{2}$+16x₀-20y₀+22=0，⑤…（10分）
又P（x₀，y₀）满足${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-2{x}_{0}$=4，⑥
将⑤-7×⑥并整理得3x₀-2y₀+5=0，
即y₀=$\frac{3x0+5}{2}$，⑦
将⑦代入⑥并整理得13${{x}_{0}}^{2}$+22x₀+9=0，
解得x₀=-1或x₀=-$\frac{9}{13}$，…（11分）
所以存在P（-1，1）或P（-$\frac{9}{13}$，$\frac{19}{13}$）满足条件．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，考查椭圆、韦达定理、直线方程、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．