Question

6．若存在两个正实数m、n，使得等式a（lnn-lnm）（4em-2n）=3m成立（其中e为自然对数的底数），则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，$\frac{3}{2e}$]
• C． [$\frac{3}{2e}$，+∞）
• D． （-∞，0）∪[$\frac{3}{2e}$，+∞）

Answer 1

分析 根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．

解答 解：由3m+a（2n-4em）（lnn-lnm）=0，
得3m+2a（n-2em）ln$\frac{n}{m}$=0，
即3+2a（$\frac{n}{m}$-2e）ln$\frac{n}{m}$=0，
即设t=$\frac{n}{m}$，则t＞0，
则条件等价为3+2a（t-2e）lnt=0，
即（t-2e）lnt=-$\frac{3}{2a}$有解，
设g（t）=（t-2e）lnt，
g′（t）=lnt+1-$\frac{2e}{t}$为增函数，
∵g′（e）=lne+1-$\frac{2e}{e}$=1+1-2=0，
∴当t＞e时，g′（t）＞0，
当0＜t＜e时，g′（t）＜0，
即当t=e时，函数g（t）取得极小值为：g（e）=（e-2e）lne=-e，
即g（t）≥g（e）=-e，
若（t-2e）lnt=-$\frac{3}{2a}$有解，
则-$\frac{3}{2a}$≥-e，即$\frac{3}{2a}$≤e，
则a＜0或a≥$\frac{3}{2e}$，
故实数a的取值范围是（-∞，0）∪[$\frac{3}{2e}$，+∞）．
故选：D．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．