Question

18．已知函数f（x）=sin（x+$\frac{kπ}{2}$），x∈[$\frac{kπ}{2}$，$\frac{（k+1）π}{2}$]，k∈Z，①函数f（x）的最小正周期为2π；②函数f（x）值域为[-1，1]；③函数f（x）为奇函数；④函数f（x）与y=$\frac{x}{10}$有7个交点．其中正确的序号是②④．

Answer 1

分析 由k=1，运用诱导公式和周期概念，即可判断①；讨论k为奇数或偶数，求得值域，即可判断②；
由k为奇数，运用诱导公式，即可判断③；通过讨论k的取值，结合图象，即可得到交点个数，判断④．

解答 解：函数f（x）=sin（x+$\frac{kπ}{2}$），x∈[$\frac{kπ}{2}$，$\frac{（k+1）π}{2}$]，k∈Z，
k=1时，f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx，x∈[$\frac{π}{2}$，π]，
此时函数f（x）不是周期函数，①错误；
当k=2n，n为整数时，f（x）=sin（x+nπ），x∈[nπ，nπ+$\frac{π}{2}$]，n∈Z，
可得f（x）∈[0，1]；
当k=2n+1，n为整数时，f（x）=sin（x+nπ+$\frac{π}{2}$），x∈[nπ+$\frac{π}{2}$，nπ+π]，n∈Z，
可得f（x）∈[-1，0]；
此时函数f（x）的值域为[-1，1]，∴②正确；
由于当k=2n+1，n为整数时，f（x）=sin（x+nπ+$\frac{π}{2}$）=±cosx，
此时函数f（x）也不是奇函数，③错误；
④由于f（x）的值域为[-1，1]，-1≤$\frac{x}{10}$≤1，
可得-10≤x≤10才有交点，
当k=0时，有一个交点；
当k=1时，f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx＜0，
x∈[$\frac{π}{2}$，π]，无交点；
当k=2时，f（x）=sin（x+π）=-sinx＞0，
x∈[π，$\frac{3π}{2}$]，1个交点；
当k=3时，f（x）=sin（x+$\frac{3}{2}$π）=-cosx＜0，
x∈[$\frac{3π}{2}$π，2π]，无交点；
当k=4时，f（x）=sin（x+2π）=sinx＞0，
x∈[2π，$\frac{5π}{2}$]，1个交点；
k≥5，且k整数时，均无交点；
当k=-1时，f（x）=sin（x-$\frac{1}{2}$π）=-cosx＜0，
x∈[-$\frac{1}{2}$π，0]，1个交点；
当k=-2时，f（x）=sin（x-π）=-sinx＞0，
x∈[-π，-$\frac{1}{2}$π]，无交点；
当k=-3时，f（x）=sin（x-$\frac{3}{2}$π）=cosx＜0，
x∈[-$\frac{3}{2}$π，-π]，1个交点；
当k=-4时，f（x）=sin（x-2π）=sinx＞0，
x∈[-2π，-$\frac{3}{2}$π]，无交点；
当k=-5时，f（x）=sin（x-$\frac{5}{2}$π）=-cosx＜0，
x∈[-$\frac{5}{2}$π，-2π]，1个交点；
当k=-6时，f（x）=sin（x-3π）=-sinx＞0，
x∈[-3π，-$\frac{5}{2}$π]，无交点；
当k=-7时，f（x）=sin（x-$\frac{7}{2}$π）=cosx＜0，
x∈[-$\frac{7}{2}$π，-3π]，1个交点；
k≤-8，且k整数时，均无交点．
函数f（x）与y=$\frac{x}{10}$有7个交点，故④对．
故答案为：②④

点评 本题考查正弦型函数的图象和性质，主要是周期和奇偶性、值域的求法和判断，考查函数方程的转化思想，注意运用数形结合的方法，考查分类讨论的思想方法，是一道难题．