Question

16．设函数f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，g（x）=a（x+b）（0＜a≤1，b≤0）．
（1）讨论函数y=f（x）•g（x）的奇偶性；
（2）当b=0时，判断函数y=$\frac{g（x）}{{f}^{2}（x）}$在（-1，1）上的单调性，并说明理由；
（3）设h（x）=|af²（x）-$\frac{g（x）}{a}$|，若h（x）的最大值为2，求a+b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得y=f（x）•g（x）=a（x+b）$\sqrt{1-{x}^{2}}$，讨论b=0，b＜0，运用奇偶性的定义，即可判断；
（2）当b=0时，函数y=$\frac{g（x）}{{f}^{2}（x）}$=$\frac{ax}{1-{x}^{2}}$在（-1，1）递增．运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论；
（3）求出h（x）=|af²（x）-$\frac{g（x）}{a}$|=|-ax²-x+a-b|，对称轴为x=-$\frac{1}{2a}$≤-$\frac{1}{2}$，讨论当-1≤-$\frac{1}{2a}$≤-$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}$≤a≤1时，-$\frac{1}{2a}$＜-1，即0＜a＜$\frac{1}{2}$时，求出端点处的函数值和顶点处的函数值，比较可得最大值，再由对勾函数的单调性和一次函数的单调性，即可得到所求范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，g（x）=a（x+b）（0＜a≤1，b≤0）．
可得y=f（x）•g（x）=a（x+b）$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
①当b=0时，f（x）•g（x）=ax$\sqrt{1-{x}^{2}}$，-1≤x≤1，
由f（-x）g（-x）=-ax$\sqrt{1-{x}^{2}}$=-f（x）•g（x），
则函数y=f（x）g（x）为奇函数；
②当b＜0时，f（x）•g（x）=a（x+b）$\sqrt{1-{x}^{2}}$，-1≤x≤1，
由f（-$\frac{1}{2}$）g（-$\frac{1}{2}$）=a（-$\frac{1}{2}$+b）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{1}{2}$）g（$\frac{1}{2}$）=a（$\frac{1}{2}$+b）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得f（-$\frac{1}{2}$）g（-$\frac{1}{2}$）≠-f（$\frac{1}{2}$）g（$\frac{1}{2}$），且f（-$\frac{1}{2}$）g（-$\frac{1}{2}$）≠f（$\frac{1}{2}$）g（$\frac{1}{2}$），
则函数y=f（x）g（x）为非奇非偶函数；
（2）当b=0时，函数y=$\frac{g（x）}{{f}^{2}（x）}$=$\frac{ax}{1-{x}^{2}}$在（-1，1）递增．
理由：任取x₁，x₂，且-1＜x₁＜x₂＜1，
可得1+x₁x₂＞0，（1-x₁²）（1-x₂²）＞0，
则y₁-y₂=$\frac{a{x}_{1}}{1-{{x}_{1}}^{2}}$-$\frac{a{x}_{2}}{1-{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{a（{x}_{1}-{x}_{2}）（1+{x}_{1}{x}_{2}）}{（1-{{x}_{1}}^{2}）（1-{{x}_{2}}^{2}）}$＜0，
可得y₁＜y₂，
即函数y=$\frac{g（x）}{{f}^{2}（x）}$=$\frac{ax}{1-{x}^{2}}$在（-1，1）递增．
（3）h（x）=|af²（x）-$\frac{g（x）}{a}$|=|-ax²-x+a-b|，对称轴为x=-$\frac{1}{2a}$≤-$\frac{1}{2}$，
①当-1≤-$\frac{1}{2a}$≤-$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}$≤a≤1时，
h（1）=|1+b|，h（-1）=|1-b|=1-b，h（-$\frac{1}{2a}$）=a+$\frac{1}{4a}$-b，
h（x）_max=max{h（1），h（-1），h（-$\frac{1}{2a}$）}，
a+$\frac{1}{4a}$-b在$\frac{1}{2}$≤a≤1时递增，可得a+$\frac{1}{4a}$-b∈[1-b，$\frac{5}{4}$-b]，
即有h（x）_max=a+$\frac{1}{4a}$-b=2，
可得a+b=2a+$\frac{1}{4a}$-2在$\frac{1}{2}$≤a≤1递增，可得
a+b∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$]；
②-$\frac{1}{2a}$＜-1，即0＜a＜$\frac{1}{2}$时，
h（x）_max=max{h（1），h（-1）}=1-b=2，即b=-1，
可得a+b=a-1∈（-1，-$\frac{1}{2}$）．
综上可得，a+b∈（-1，-$\frac{1}{4}$]．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义法，考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论，以及二次函数对称轴和区间的关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．