Question

11．已知A，B分别是离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点与右顶点，右焦点F₂到直线AB的距离为$\frac{2\sqrt{5}-\sqrt{15}}{5}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点M（0，2）作直线l交椭圆E于P，Q两点，求$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由A，B分别是离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的椭圆的上顶点与右顶点，右焦点F₂到直线AB的距离为$\frac{2\sqrt{5}-\sqrt{15}}{5}$，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆E的方程．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），当直线l的斜率不存在时，$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=-1．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，代入椭圆方程x²+4y²-4=0，得（1+4k²）x²+16kx+12=0，由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积公式，结合已知条件能求出$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$的取值范围．

解答 解：（1）由题知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{1}{2}$a，
∴A（0，$\frac{a}{2}$），B（a，0），F₂（$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，0），
∴直线AB的方程为x+2y-a=0，
∴$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a-a}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}-\sqrt{15}}{5}$，解得a=2，∴b=1，
∴椭圆E的方程为$\frac{x2}{4}$+y²=1．（4分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
当直线l的斜率不存在时，由题意知P，Q为椭圆的上、下顶点，
可设P（0，1），Q（0，-1），此时$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=-1．（6分）
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，
代入椭圆方程x²+4y²-4=0，整理得（1+4k²）x²+16kx+12=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，（7分）
由△=（16k）²-4×12（1+4k²）＞0，得k²＞$\frac{3}{4}$．
$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）
=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{32{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+4=$\frac{16-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=-1+$\frac{17}{1+4{k}^{2}}$，（9分）
由k²＞$\frac{3}{4}$，得4k²+1＞4，∴0＜$\frac{17}{1+4{k}^{2}}$＜$\frac{17}{4}$，
∴-1＜-1+$\frac{17}{1+4{k}^{2}}$＜$\frac{13}{4}$，
∴直线l斜率存在时，$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$的取值范围为（-1，$\frac{13}{4}$）．（11分）
综上，$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$的取值范围为[-1，$\frac{13}{4}$）．（12分）

点评 本题考查椭圆方程求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，考查椭圆、韦达定理、根的判别式、直线方程、向量的数量积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．