Question

15．已知：y=Atan（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）过（0，-3）点且图象与x轴相邻两点为：（$\frac{π}{6}$，0）（$\frac{5π}{6}$，0），求A，ω，φ．（通过解三角方程）

Answer 1

分析 通过图象与x轴相交的两相邻点的坐标为$（\frac{π}{6}，0）$和$（\frac{5π}{6}，0）$，求出函数的周期，确定ω的值，利用图象经过点（0，-3）．求出φ，即可求f（x）的解析式．

解答 解：可得f（x）的周期为$T=\frac{5π}{6}-\frac{π}{6}=\frac{2π}{3}=\frac{π}{ω}$，
∴$ω=\frac{3}{2}$，
得$f（x）=Atan（\frac{3}{2}x+φ）$，它的图象过点$（\frac{π}{6}，0）$，
∴$Atan（\frac{3}{2}•\frac{π}{6}+φ）=0$，
即$tan（\frac{π}{4}+φ）=0$，
∴$\frac{π}{4}+φ=kπ$，
得$φ=kπ-\frac{π}{4}$，又$|φ|＜\frac{π}{2}$，
∴$φ=-\frac{π}{4}$，
于是$f（x）=Atan（\frac{3}{2}x-\frac{π}{4}）$，它的图象过点（0，-3），
∴$Atan（-\frac{π}{4}）=-3$，得A=3．
∴$f（x）=3tan（\frac{3}{2}x-\frac{π}{4}）$；

点评 本题主要考查三角函数的图象，三角函数的周期，解析式的求法，三角不等式的解法，考查计算能力．