Question

10．在数列{a_n}中，
（1）已知a₁=1，a_n+1-a_n=2，求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知a₁=1，且na_n=（n+1）a_n-1（n≥2），试求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）易知数列{a_n}是以1为首项、2为公差的等差数列，进而计算可得结论；
（2）通过na_n=（n+1）a_n-1（n≥2）可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n}$、$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n}{n-1}$、…、$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{3}$、$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{2}$，累乘计算即得结论．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1-a_n=2，
∴数列{a_n}是以1为首项、2为公差的等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）∵na_n=（n+1）a_n-1（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n}$（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n}{n-1}$，
…
$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{3}$，
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{3•4•…•n•（n+1）}{2•3•…•（n-1）•n}$=$\frac{n+1}{2}$，
又∵a₁=1，
∴a_n=$\frac{n+1}{2}$•a₁=$\frac{n+1}{2}$，
又∵当n=1时满足上式，
∴a_n=$\frac{n+1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．