Question

19．已知向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是两个不共线的单位向量，夹角为$\frac{2}{3}$π．
（1）若向量$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值；
（2）若向量$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为$\frac{π}{3}$，求实数t的值．

Answer 1

分析 通过数量积的定义可知$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|•|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|cos＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞-$\frac{1}{2}$．（1）利用cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$，计算即得结论；（2）利用$cos\frac{π}{3}$=$\frac{（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}|}$计算即得结论．

解答 解：由题可知：$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|•|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|cos＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞=$cos\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$．
（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$
=$\frac{（\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）（\overrightarrow{{e}_{1}}-2\overrightarrow{{e}_{2}}）}{|\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}||\overrightarrow{{e}_{1}}-2\overrightarrow{{e}_{2}}|}$
=$\frac{{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}-2{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}-\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}{\sqrt{{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+2\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}}•\sqrt{{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}-4\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+4{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}}}$
=$\frac{1-2-（-\frac{1}{2}）}{\sqrt{1+2•（-\frac{1}{2}）+1}•\sqrt{1-4•（-\frac{1}{2}）+4}}$
=-$\frac{\sqrt{7}}{14}$；
（2）∵向量$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为$\frac{π}{3}$，
∴$cos\frac{π}{3}$=$\frac{（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}|}$
=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}+t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{t}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}}•\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}}}$
=$\frac{1}{2}$，
又由（2）知$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$，${\overrightarrow{a}}^{2}$=1，${\overrightarrow{b}}^{2}$=$\sqrt{7}$，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}+t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{t}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}}•\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}}}$
=$\frac{1-\frac{1}{2}t}{\sqrt{1-t+7{t}^{2}}}$，
整理得：2t²+t-1=0，
解得：t=-1或t=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．