Question

已知函数f（x）=x²-ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，3]上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-x²，是否存在负实数a，当x∈（0，e]（e是自然对数的底数）时，函数g（x）的最小值是2，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=1时，可求得f′（x）=

(2x+1)(x-1)

x

（x＞0），由f′（x）≤0可求其单调递减区间，由f′（x）≥0可求其单调递增区间；
（Ⅱ）依题意，f′（x）=2x-a-

1

x

=

2x2-ax-1

x

≤0在[1，3]上恒成立，令 h（x）=2x²-ax-1，由

h(1)≤0 h(3)≤0

可求得a的范围；
（Ⅲ）假设存在负实数a，使g（x）=f（x）-x²=-ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值2，利用g′（x）=-

ax+1

x

，分0＜-

1

a

＜e与-

1

a

≥e讨论，结合函数的单调性判断即可求得答案．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，由f′（x）=2x-1-

1

x

=

2x2-x-1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

，
∵函数f（x）=x²+x-lnx的定义域为（0，+∞），
∴当x∈（0，1]时，f′（x）≤0，当x∈[1，+∞）时，f′（x）≥0
∴函数f（x）=x²+x-lnx的单调递减区间为（0，1]，
单调递增区间为[1，+∞）…（4分）
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，3]上是减函数，
则f′（x）=2x-a-

1

x

=

2x2-ax-1

x

≤0在[1，3]上恒成立，
因为x＞0，令 h（x）=2x²-ax-1，
有

h(1)≤0 h(3)≤0

得

a≥1 a≥ 17 3

，得a≥

17

3

…（8分）
（III）假设存在负实数a，使g（x）=f（x）-x²，即g（x）=-ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值2，g′（x）=-a-

1

x

=-

ax+1

x

…（9分）
（1）当0＜-

1

a

＜e，即a＜-

1

e

时，g（x）在（0，-

1

a

）上单调递减，在（

1

a

，e]上单调递增
∴g（x）_min=g（-

1

a

）=1+ln（-a）=2，a=-e，满足条件．…（11分）
（2）当-

1

a

≥e，即a≥-

1

e

时，g′（x）＜0，g（x）在（0，e]上单调递减，
此时g（x）_min=g（e）=-ae-1=2，
∴a=-

3

e

（舍去），即f（x）无最小值．…（13分）
综上，存在负实数a=-e，使得当x∈（0，e]时，f（x）有最小值2．…（14分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，突出考查导数在最大值、最小值问题中的综合应用，考查等价转化与分类讨论思想，考查分析运算能力，属于难题．