如图,已知平面内一动点到两个定点、的距离之和为,线段的长为.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点作直线与轨迹交于、两点,且点在线段的上方,
线段的垂直平分线为.
①求的面积的最大值;
②轨迹上是否存在除、外的两点、关于直线对称,请说明理由.
(1)参考解析;(2)①;②参考解析
解析试题分析:(1)由于c的大小没确定,所以点A的轨迹,根据c的大小有三种情况.
(2)①由可得点A的轨迹方程为椭圆,求的面积的最大值即求出点A到直线距离的最大值.即点A在椭圆的上顶点上即可.本小题通过建立三角函数同样可以求得三角形面积最大时的情况.
②当时,显然存在除、外的两点、关于直线对称.当直线AC不垂直于时,不存在除、外的两点、关于直线对称.通过假设存在,利用点差法即可得到,.由于H,M分别是两条弦的中点,并且都被直线m平分.所以.由.所以不存在这样的直线.
试题解析:(1)因为,轨迹是以、为焦点的椭圆,3分
(2)以线段的中点为坐标原点,以所在直线为轴建立平面直角坐标系,
可得轨迹的方程为7分
①解法1:设表示点到线段的距离
,8分
要使的面积有最大值,只要有最大值
当点与椭圆的上顶点重合时,
的最大值为10分
解法2:在椭圆中,设,记
点在椭圆上,由椭圆的定义得:
在中,由余弦定理得:
配方,得:
从而
得8分
根据椭圆的对称性,当最大时,最大
当点与椭圆的上顶点重合时,
最大值为10分
②结论:当时,显然存在除、外的两点、关于直线对称11分
下证当与不垂直时,不存在除、外的两点、关于直线对称12分
证法1:假设存在这样的两个不同的点
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已知、为椭圆的左右焦点,点为其上一点,且有
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过的直线与椭圆交于、两点,过与平行的直线与椭圆交于、两点,求四边形的面积的最大值.
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已知曲线的方程为,过原点作斜率为的直线和曲线相交,另一个交点记为,过作斜率为的直线与曲线相交,另一个交点记为,过作斜率为的直线与曲线相交,另一个交点记为,如此下去,一般地,过点作斜率为的直线与曲线相交,另一个交点记为,设点().
(1)指出,并求与的关系式();
(2)求()的通项公式,并指出点列,,,向哪一点无限接近?说明理由;
(3)令,数列的前项和为,试比较与的大小,并证明你的结论.
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设抛物线:的准线与轴交于点,焦点为;椭圆以和为焦点,离心率.设是与的一个交点.
(1)求椭圆的方程.
(2)直线过的右焦点,交于两点,且等于的周长,求的方程.
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(本小题满分15分)
已知椭圆C:+=1的离心率为,左焦点为F(-1,0),
(1) 设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线L与椭圆C交于M,N两点,若,求直线L的方程;
(2)椭圆C上是否存在三点P,E,G,使得S△OPE=S△OPG=S△OEG=?
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已知中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆过点,且它的离心率.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)与圆相切的直线交椭圆于两点,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围.
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已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过右焦点作斜率为的直线交曲线于、两点,且,又点关于原点的对称点为点,试问、、、四点是否共圆?若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由.
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已知椭圆的由顶点为A,右焦点为F,直线与x轴交于点B且与直线交于点C,点O为坐标原点,,过点F的直线与椭圆交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的面积的最大值.
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