已知曲线
的方程为
，过原点作斜率为
的直线和曲线相交，另一个交点记为
，过作斜率为
的直线与曲线相交，另一个交点记为
，过作斜率为
的直线与曲线相交，另一个交点记为
，如此下去，一般地，过点
作斜率为
的直线与曲线相交，另一个交点记为
，设点
（
）．
（1）指出
，并求
与
的关系式（）；
（2）求
（）的通项公式，并指出点列，，
，向哪一点无限接近？说明理由；
（3）令
，数列
的前
项和为
，试比较
与
的大小，并证明你的结论．
（1）
；（2）
，
；（3）.
解析试题分析：（1）由于
，点
，
又都是抛物线上的点，代入进去变形可得到与的关系为；（2）由于只要求数列
的奇数项，因此把（1）中得到的关系式中分别为
代换，得到两个等式相减可得
与
的关系式
，用累加法可求得通项公式
，当
时，
，即得极限点为
；（3）求出
，是一个等比数列，其
，于是
，要比较与的大小，只要比较
与
的即可，可计算前几个数
，
时，
，
时，
，
时，
，
时，
，可以归纳出结论，
时有
，这个可用二项式定理证明，
，由于
，展开式中至少有4项，因此
.
试题解析：（1）
． （1分）
设
，
，由题意得 
． （2分）
（4分）
（2）分别用
、
代换上式中的n得
(
) （6分）
又，
， （8分）
因
，所以点列，， ，， 向点无限接近. （10分）
（3）
，
． （12分）
，只要比较
． （13分）
（15分）
当n=1时，
（16分）
当n=2时，
（17分）
当n>2时，
．&nb
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆C:
的离心率为
,短轴一个端点到右焦点的距离为
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线
与椭圆C交于A、B两点，以
弦为直径的圆过坐标原点
，试探讨点到直线的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，设抛物线
：
的焦点为
，准线为
，过准线上一点
且斜率为
的直线
交抛物线于
，
两点，线段
的中点为
，直线
交抛物线于
，
两点．
（1）求抛物线的方程及的取值范围；
（2）是否存在值，使点是线段
的中点？若存在，求出值，若不存在，请说明理由． 
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已知椭圆
的两个焦点分别为
和
,离心率
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线
（
）与椭圆交于
、
两点，线段
的垂直平分线交
轴于点
，当
变化时,求
面积的最大值.
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如图，已知
，
，
，
分别是椭圆
的四个顶点，△
是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆
．
（1）求椭圆
及圆
的方程；
（2）若点
是圆
劣弧
上一动点（点异于端点
，
），直线
分别交线段
，椭圆于点，，直线
与
交于点
．
（ⅰ）求
的最大值；
（ⅱ）试问：.
.，
两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
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如图，已知椭圆
的左、右焦点分别
为
，其上顶点为
已知
是边长为
的正三角形．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
任作一动直线
交椭圆于
两点，记
．若在线段
上取一点
，使得
，当直线运动时，点在某一定直线上运动，求出该定直线的方程．
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已知点
，圆C：
与椭圆E:
有一个公共点
，
分别是椭圆的左、右焦点，直线
与圆C相切．
（1）求m的值与椭圆E的方程；
（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求
的取值范围．
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如图，已知平面内一动点
到两个定点
、
的距离之和为
，线段
的长为
.
（1）求动点的轨迹
的方程；
（2）过点作直线
与轨迹交于、
两点，且点在线段的上方，
线段
的垂直平分线为
.
①求
的面积的最大值；
②轨迹上是否存在除、外的两点
、
关于直线对称，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且
，|BC|＝2|AC|．
(1)求椭圆E的方程；
(2)在椭圆E上是否存点Q，使得
？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．
（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作
的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：
为定值．
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