已知椭圆C:
的离心率为
,短轴一个端点到右焦点的距离为
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线
与椭圆C交于A、B两点，以
弦为直径的圆过坐标原点
，试探讨点到直线的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
（1）
；（2）是定值，定值为
．
解析试题分析：（1）利用椭圆的离心率为
，短轴一个端点到右焦点的距离为
，建立方程组，即可求椭圆C的方程；（2）分类讨论，①当
轴时，得
②当与
轴不垂直时，设直线的方程为
．联立
，得
，利用韦达定理，及以AB弦为直径的圆过坐标原点O，则有
，得
，再利用点到直线的距离公式，即可求得结论．
解：（1）设椭圆的半焦距为
，依题意
， 
所求椭圆方程为．
（2）设
，
．
①当
轴时，设方程为：
，此时
两点关于轴对称，
又以
为直径的圆过原点，设
代人椭圆方程得：
②当与轴不垂直时，
设直线的方程为．联立，
整理得，
，
．
又
。
由以为直径的圆过原点，则有。 即：
故满足：
得：
所以
=
。又点到直线的距离为：
。
综上所述：点到直线的距离为定值．
考点：1．直线与圆锥曲线的关系；2．椭圆的标准方程．
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在平面直角坐标系
中，已知椭圆的焦点在
轴上，离心率为
，且经过点
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2） 以椭圆的长轴为直径作圆
，设
为圆
上不在坐标轴上的任意一点，
为轴上一点，过圆心作直线
的垂线交椭圆右准线于点
．问：直线
能否与圆总相切，如果能，求出点的坐标；如果不能，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆C：
( 
)的离心率为
，点(1，
)在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的两条切线交于点M(4，
)，其中
，切点分别是A、B，试利用结论：在椭圆上的点(
)处的椭圆切线方程是
，证明直线AB恒过椭圆的右焦点
；
（3）试探究
的值是否恒为常数，若是，求出此常数；若不是，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（2011•湖北）平面内与两定点A1（﹣a，0），A2（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．
（1）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
（2）当m=﹣1时，对应的曲线为C1；对给定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点．试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a2．若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，离心率为
，它的一个焦点恰好与抛物线
的焦点重合.
求椭圆的方程；
设椭圆的上顶点为
，过点作椭圆的两条动弦
，若直线斜率之积为
，直线
是否一定经过一定点?若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
椭圆
的离心率
，
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，
是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交
轴于点N，直线AD交BP于点M。设BP的斜率为
，MN的斜率为
.证明：
为定值。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知
、
为椭圆
的左右焦点，点
为其上一点，且有
.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）过的直线
与椭圆
交于
、
两点，过与平行的直线
与椭圆交于、
两点，求四边形
的面积
的最大值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知曲线
的方程为
，过原点作斜率为
的直线和曲线相交，另一个交点记为
，过作斜率为
的直线与曲线相交，另一个交点记为
，过作斜率为
的直线与曲线相交，另一个交点记为
，如此下去，一般地，过点
作斜率为
的直线与曲线相交，另一个交点记为
，设点
（
）．
（1）指出
，并求
与
的关系式（）；
（2）求
（）的通项公式，并指出点列，，
，向哪一点无限接近？说明理由；
（3）令
，数列
的前
项和为
，试比较
与
的大小，并证明你的结论．
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作倾斜角为
的直线
与曲线C
交于不同的两点
，求
的取值范围.