在平面直角坐标系中,已知椭圆的焦点在轴上,离心率为,且经过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2) 以椭圆的长轴为直径作圆,设为圆上不在坐标轴上的任意一点,为轴上一点,过圆心作直线的垂线交椭圆右准线于点.问:直线能否与圆总相切,如果能,求出点的坐标;如果不能,说明理由.
(1) ;(2)能,点.
解析试题分析:(1)求椭圆方程,一般要找到两个条件,本题中有离心率为,即,另外椭圆过点,说明,这样结论易求;(2)存在性命题,问题假设存在,设,再设,首先有,,,于是,写出直线方程为,让它与椭圆右准线相交,求得,与圆相切,则有,即,这是关于的恒等式,由此利用恒等式的知识可求得,说明存在,若求不出,说明假设错误,不存在.
(1)设椭圆方程为,因为经过点,所以,,
又因为,可令,所以,,即,
所以椭圆的标准方程为. 6分
(2)存在点 7分
设点,,因为在以椭圆的长轴为直径作圆上,且不在坐标轴上的任意点,
所以 且,又因为,
由,所以,,所以直线的方程为, 10分
因为点在直线上,令,得,
即, 12分
所以,
又,与圆总相切,故,于是有,
,即恒成立,解之可得,
即存在这样点,使得与圆总相切. 16分
考点:(1)椭圆的标准方程;(2)直线与椭圆、圆的综合性问题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆C:(x-4)2+(y-m)2=16(m∈N*),直线4x-3y-16=0过椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点,且被圆C所截得的弦长为,点A(3,1)在椭圆E上.
(1)求m的值及椭圆E的方程;
(2)设Q为椭圆E上的一个动点,求·的取值范围.
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(本小题满分13分)
已知双曲线的两条渐近线分别为.
(1)求双曲线的离心率;
(2)如图,为坐标原点,动直线分别交直线于两点(分别在第一,四象限),且的面积恒为8,试探究:是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线?若存在,求出双曲线的方程;若不存在,说明理由.
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已知抛物线C:的焦点为F,直线与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线与C相较于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求的方程.
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已知圆的方程为,定直线的方程为.动圆与圆外切,且与直线相切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)直线与轨迹相切于第一象限的点, 过点作直线的垂线恰好经过点,并交轨迹于异于点的点,求直线的方程及的长.
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已知圆的圆心在坐标原点,且恰好与直线相切,设点A为圆上一动点,轴于点,且动点满足,设动点的轨迹为曲线
(1)求曲线C的方程,
(2)直线l与直线l,垂直且与曲线C交于B、D两点,求△OBD面积的最大值.
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已知椭圆C:的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线与椭圆C交于A、B两点,以弦为直径的圆过坐标原点,试探讨点到直线的距离是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.
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