Question

已知圆的方程为，定直线的方程为．动圆与圆外切，且与直线相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）直线与轨迹相切于第一象限的点, 过点作直线的垂线恰好经过点，并交轨迹于异于点的点，求直线的方程及的长.

Answer 1

（1）；（2）直线PQ的方程：x+y-6=0，|PQ|=.

解析试题分析：(1)设圆心C的坐标为(x,y),根据题意可以得到关于x，y的方程组，消去参数以后即可得到x，y所满足的关系式，即圆心C的轨迹M的方程；(2)设点P的坐标为，根据题意可以把l’用含x₀的代数式表示出来，由经过点A(0,6)可以求得点P的坐标与l’的方程，再联立(1)中M的轨迹方程，即可求出Q的坐标，从而得到|PQ|d的长.
（1）设动圆圆心C的坐标为(x,y)，动圆半径为R，则 ，且
|y+1|=R    2分，可得．
由于圆C₁在直线l的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方，所以有y+1>0，从而得，整理得，即为动圆圆心C的轨迹M的方程．         5分
（2）如图示，设点P的坐标为，则切线的斜率为，可得直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为．由于该直线经过点A（0,6），所以有，得．因为点P在第一象限，所以，点P坐标为（4,2），直线PQ的方程为x+y-6=0．      9分
把直线PQ的方程与轨迹M的方程联立得，解得x=-12或4
       12分