在平面直角坐标系中,点到点的距离比它到轴的距离多1,记点的轨迹为.
(1)求轨迹为的方程;
(2)设斜率为的直线过定点,求直线与轨迹恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共点时的相应取值范围.
(1);(2)当时直线与轨迹恰有一个公共点; 当时,故此时直线与轨迹恰有两个公共点; 当时,故此时直线与轨迹恰有三个公共点.
解析试题分析:(1)设点,根据条件列出等式,在用两点间的距离公式表示,化简整理即得;(2)在点的轨迹中,记,,设直线的方程为,联立方程组整理得 ,分类讨论①时;② ;③ 或;④ ,确定直线与轨迹的公共点的个数.
(1)设点,依题意,,即,
整理的,
所以点的轨迹的方程为.
(2)在点的轨迹中,记,,
依题意,设直线的方程为,
由方程组得 ①
当时,此时,把代入轨迹的方程得,
所以此时直线与轨迹恰有一个公共点.
当时,方程①的判别式为 ②
设直线与轴的交点为,则由,令,得③
(ⅰ)若,由②③解得或.
即当时,直线与没有公共点,与有一个公共点,
故此时直线与轨迹恰有一个公共点.
(ⅱ)若或,由②③解得或,
即当时,直线与有一个共点,与有一个公共点.
当时 ,直线与有两
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已知椭圆的右焦点为,为上顶点,为坐标原点,若△的面积为,且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在直线交椭圆于,两点, 且使点为△的垂心?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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给定椭圆,称圆心在坐标原点O,半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”,已知椭圆C的两个焦点分别是.
(1)若椭圆C上一动点满足,求椭圆C及其“伴随圆”的方程;
(2)在(1)的条件下,过点作直线l与椭圆C只有一个交点,且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为,求P点的坐标;
(3)已知,是否存在a,b,使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点的直线的最短距离.若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
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(本小题满分13分)
已知双曲线的两条渐近线分别为.
(1)求双曲线的离心率;
(2)如图,为坐标原点,动直线分别交直线于两点(分别在第一,四象限),且的面积恒为8,试探究:是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线?若存在,求出双曲线的方程;若不存在,说明理由.
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如图,设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点,且点在第一象限.
(1)已知直线的斜率为,用表示点的坐标;
(2)若过原点的直线与垂直,证明:点到直线的距离的最大值为.
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已知圆的方程为,定直线的方程为.动圆与圆外切,且与直线相切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)直线与轨迹相切于第一象限的点, 过点作直线的垂线恰好经过点,并交轨迹于异于点的点,求直线的方程及的长.
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