(12分)(2011•重庆)如图,椭圆的中心为原点O,离心率e=,一条准线的方程为x=2.
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程.
(Ⅱ)设动点P满足,其中M,N是椭圆上的点.直线OM与ON的斜率之积为﹣.
问:是否存在两个定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值.若存在,求F1,F2的坐标;若不存在,说明理由.
(Ⅰ)(Ⅱ)见解析
解析试题分析:(Ⅰ)根据离心率和准线方程求得a和c,则b可得,则椭圆的方程可得.
(Ⅱ)设出P,M,N的坐标,根据题设等式建立等式,把M,N代入椭圆方程,整理求得x2+2y220+4(x1x2+2y1y2),设出直线OM,ON的斜率,利用题意可求得x1x2+2y1y2=0,进而求得x2+2y2的值,利用椭圆的定义可推断出|PF1|+|PF2|为定值求得c,则两焦点坐标可得.
解:(Ⅰ)由e==,=2,求得a=2,c=
∴b==
∴椭圆的方程为:
(Ⅱ)设P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),
则由,得(x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2),
即x=x1+2x2,y=y1+2y2,
∵点M,N在椭圆上,所以
,
故x2+2y2=(x12+4x22+4x1x2)+2(y12+4y22+4y1y2)=20+4(x1x2+2y1y2)
设k0M,kON分别为直线OM,ON的斜率,根据题意可知k0MkON=﹣
∴x1x2+2y1y2=0
∴x2+2y2=20
所以P在椭圆上;
设该椭圆的左,右焦点为F1,F2,由椭圆的定义可推断出|PF1|+|PF2|为定值,因为c=,则这两个焦点坐标是(﹣,0)(,0)
点评:本题主要考查了椭圆的简单性质.考查了学生分析问题和解决问题的能力.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
给定椭圆,称圆心在坐标原点O,半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”,已知椭圆C的两个焦点分别是.
(1)若椭圆C上一动点满足,求椭圆C及其“伴随圆”的方程;
(2)在(1)的条件下,过点作直线l与椭圆C只有一个交点,且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为,求P点的坐标;
(3)已知,是否存在a,b,使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点的直线的最短距离.若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆的方程为,定直线的方程为.动圆与圆外切,且与直线相切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)直线与轨迹相切于第一象限的点, 过点作直线的垂线恰好经过点,并交轨迹于异于点的点,求直线的方程及的长.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(13分)(2011•天津)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|.
(Ⅰ)求椭圆的离心率e;
(Ⅱ)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,若直线PF2与圆(x+1)2+=16相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆的圆心在坐标原点,且恰好与直线相切,设点A为圆上一动点,轴于点,且动点满足,设动点的轨迹为曲线
(1)求曲线C的方程,
(2)直线l与直线l,垂直且与曲线C交于B、D两点,求△OBD面积的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知椭圆,直线的方程为,过右焦点的直线与椭圆交于异于左顶点的两点,直线,交直线分别于点,.
(1)当时,求此时直线的方程;
(2)试问,两点的纵坐标之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com