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(12分)(2011•重庆)如图,椭圆的中心为原点O,离心率e=,一条准线的方程为x=2

(Ⅰ)求该椭圆的标准方程.
(Ⅱ)设动点P满足,其中M,N是椭圆上的点.直线OM与ON的斜率之积为﹣
问:是否存在两个定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值.若存在,求F1,F2的坐标;若不存在,说明理由.

(Ⅰ)(Ⅱ)见解析

解析试题分析:(Ⅰ)根据离心率和准线方程求得a和c,则b可得,则椭圆的方程可得.
(Ⅱ)设出P,M,N的坐标,根据题设等式建立等式,把M,N代入椭圆方程,整理求得x2+2y220+4(x1x2+2y1y2),设出直线OM,ON的斜率,利用题意可求得x1x2+2y1y2=0,进而求得x2+2y2的值,利用椭圆的定义可推断出|PF1|+|PF2|为定值求得c,则两焦点坐标可得.
解:(Ⅰ)由e===2,求得a=2,c=
∴b==
∴椭圆的方程为:
(Ⅱ)设P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),
则由,得(x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2),
即x=x1+2x2,y=y1+2y2
∵点M,N在椭圆上,所以

故x2+2y2=(x12+4x22+4x1x2)+2(y12+4y22+4y1y2)=20+4(x1x2+2y1y2
设k0M,kON分别为直线OM,ON的斜率,根据题意可知k0MkON=﹣
∴x1x2+2y1y2=0
∴x2+2y2=20
所以P在椭圆上;
设该椭圆的左,右焦点为F1,F2,由椭圆的定义可推断出|PF1|+|PF2|为定值,因为c=,则这两个焦点坐标是(﹣,0)(,0)
点评:本题主要考查了椭圆的简单性质.考查了学生分析问题和解决问题的能力.

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