如图,已知椭圆,直线的方程为,过右焦点的直线与椭圆交于异于左顶点的两点,直线,交直线分别于点,.
(1)当时,求此时直线的方程;
(2)试问,两点的纵坐标之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
(1);(2),两点的纵坐标之积为定值.
解析试题分析:(1)讨论①当直线的斜率不存在时,确定得到,又
不满足;
②当直线的斜率存在时,设方程为
代入椭圆得;
应用韦达定理研究,解得 求得直线的方程;
(2)的方程为与的方程:联立
确定 同理得,
从而.
讨论不存在、存在的两种情况,得出结论.
(1)①当直线的斜率不存在时,由可知方程为
代入椭圆得又
不满足 2分
②当直线的斜率存在时,设方程为
代入椭圆得 3分
设得 4分
故直线的方程; 6分
(2)的方程为与的方程:联立
得: 同理得 8分
①不存在时, 9分
②存在时, 12分
,两点的纵坐标之积为定值 13分
考点:椭圆的几何性质,直线方程,直线与圆锥曲线的位置关系,分类讨论思想.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(12分)(2011•重庆)如图,椭圆的中心为原点O,离心率e=,一条准线的方程为x=2.
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程.
(Ⅱ)设动点P满足,其中M,N是椭圆上的点.直线OM与ON的斜率之积为﹣.
问:是否存在两个定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值.若存在,求F1,F2的坐标;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(2011•湖北)平面内与两定点A1(﹣a,0),A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线.
(1)求曲线C的方程,并讨论C的形状与m值的关系;
(2)当m=﹣1时,对应的曲线为C1;对给定的m∈(﹣1,0)∪(0,+∞),对应的曲线为C2,设F1、F2是C2的两个焦点.试问:在C1上,是否存在点N,使得△F1NF2的面积S=|m|a2.若存在,求tanF1NF2的值;若不存在,请说明理由.
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椭圆的离心率,.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交轴于点N,直线AD交BP于点M。设BP的斜率为,MN的斜率为.证明:为定值。
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已知椭圆的焦点为,点是椭圆上的一点,与轴的交点恰为的中点, .
(1)求椭圆的方程;
(2)若点为椭圆的右顶点,过焦点的直线与椭圆交于不同的两点,求面积的取值范围.
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已知、为椭圆的左右焦点,点为其上一点,且有
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过的直线与椭圆交于、两点,过与平行的直线与椭圆交于、两点,求四边形的面积的最大值.
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如图,已知,,,分别是椭圆的四个顶点,△是一个边长为2的等边三角形,其外接圆为圆.
(1)求椭圆及圆的方程;
(2)若点是圆劣弧上一动点(点异于端点,),直线分别交线段,椭圆于点,,直线与交于点.
(ⅰ)求的最大值;
(ⅱ)试问:,两点的横坐标之和是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设抛物线:的准线与轴交于点,焦点为;椭圆以和为焦点,离心率.设是与的一个交点.
(1)求椭圆的方程.
(2)直线过的右焦点,交于两点,且等于的周长,求的方程.
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