如图，已知
，
，
，
分别是椭圆
的四个顶点，△
是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆
．
（1）求椭圆
及圆
的方程；
（2）若点
是圆
劣弧
上一动点（点异于端点
，
），直线
分别交线段
，椭圆于点，，直线
与
交于点
．
（ⅰ）求
的最大值；
（ⅱ）试问：
，
两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
（1）
，
，（2）（ⅰ）
，（ⅱ）
.
解析试题分析：（1）求椭圆标准方程，只需两个独立条件. 由题意知，
，
，所以
，
，所以椭圆
的方程为，求圆的方程，有两个选择，一是求圆的标准方程，确定圆心与半径，二是求圆的一般方程，只需代入圆上三个点的坐标.本题两个方法皆简单，如易得圆心
，
，所以圆
的方程为（2）（ⅰ）本题关键分析出比值
暗示的解题方向，由于点
在
轴上，所以
，因此解题方向为利用斜率分别表示出点
与点
的横坐标. 设直线
的方程为
，与直线
的方程
联立，解得点
，联立
，消去并整理得，
，解得点
,因此
当且仅当
时，取“=”，所以的最大值为．（ⅱ）求出点
的横坐标，分析与点的横坐标的和是否为常数. 直线
的方程为
，与直线
的方程
联立，解得点
，所以、两点的横坐标之和为
．
试题解析：（1）由题意知，，，
所以，，所以椭圆的方程为， 2分
易得圆心，
，所以圆的方程为．4分
（2）解：设直线的方程为，
与直线的方程联立，解得点， 6分
联立，消去并整理得，，解得点，
9分
（ⅰ）
，当且仅当时，取“=”，
所以的最大值为． 12分
（ⅱ）直线
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知椭圆
，直线
的方程为
，过右焦点
的直线
与椭圆交于异于左顶点
的
两点，直线
，
交直线分别于点
，
．
（1）当
时，求此时直线的方程；
（2）试问，两点的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的离心率为
，其短轴两端点为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）若
是椭圆
上关于
轴对称的两个不同点，直线
与
轴分别交于点
.判断以
为直径的圆是否过点
，并说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，设抛物线
：
的焦点为
，准线为
，过准线上一点
且斜率为
的直线
交抛物线于
，
两点，线段
的中点为
，直线
交抛物线于
，
两点．
（1）求抛物线的方程及的取值范围；
（2）是否存在值，使点是线段
的中点？若存在，求出值，若不存在，请说明理由． 
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知圆
，经过椭圆
的右焦点F及上顶点B，过圆外一点
倾斜角为
的直线
交椭圆于C，D两点，
（1）求椭圆的方程；
（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的两个焦点分别为
和
,离心率
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线
（
）与椭圆交于
、
两点，线段
的垂直平分线交
轴于点
，当
变化时,求
面积的最大值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知椭圆
的左、右焦点分别
为
，其上顶点为
已知
是边长为
的正三角形．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
任作一动直线
交椭圆于
两点，记
．若在线段
上取一点
，使得
，当直线运动时，点在某一定直线上运动，求出该定直线的方程．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的离心率为
，以原点
为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切。
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）若直线
与椭圆相交于
、
两点，且
，试判断
的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
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与椭圆
相交于
两点，点
是线段
上的一点，
且点
上.
的对称点在单位圆
上，求椭圆的方程.