如图,已知,,,分别是椭圆的四个顶点,△是一个边长为2的等边三角形,其外接圆为圆.
(1)求椭圆及圆的方程;
(2)若点是圆劣弧上一动点(点异于端点,),直线分别交线段,椭圆于点,,直线与交于点.
(ⅰ)求的最大值;
(ⅱ)试问:,两点的横坐标之和是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.
(1),,(2)(ⅰ),(ⅱ).
解析试题分析:(1)求椭圆标准方程,只需两个独立条件. 由题意知,,,所以,,所以椭圆的方程为,求圆的方程,有两个选择,一是求圆的标准方程,确定圆心与半径,二是求圆的一般方程,只需代入圆上三个点的坐标.本题两个方法皆简单,如易得圆心,,所以圆的方程为(2)(ⅰ)本题关键分析出比值暗示的解题方向,由于点在轴上,所以,因此解题方向为利用斜率分别表示出点与点的横坐标. 设直线的方程为,与直线的方程联立,解得点,联立,消去并整理得,,解得点,因此当且仅当时,取“=”,所以的最大值为.(ⅱ)求出点的横坐标,分析与点的横坐标的和是否为常数. 直线的方程为,与直线的方程联立,解得点,所以、两点的横坐标之和为.
试题解析:(1)由题意知,,,
所以,,所以椭圆的方程为, 2分
易得圆心,,所以圆的方程为.4分
(2)解:设直线的方程为,
与直线的方程联立,解得点, 6分
联立,消去并整理得,,解得点,
9分
(ⅰ)
,当且仅当时,取“=”,
所以的最大值为. 12分
(ⅱ)直线
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知椭圆,直线的方程为,过右焦点的直线与椭圆交于异于左顶点的两点,直线,交直线分别于点,.
(1)当时,求此时直线的方程;
(2)试问,两点的纵坐标之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
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已知椭圆的离心率为,其短轴两端点为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若是椭圆上关于轴对称的两个不同点,直线与轴分别交于点.判断以为直径的圆是否过点,并说明理由.
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如图,设抛物线:的焦点为,准线为,过准线上一点且斜率为的直线交抛物线于,两点,线段的中点为,直线交抛物线于,两点.
(1)求抛物线的方程及的取值范围;
(2)是否存在值,使点是线段的中点?若存在,求出值,若不存在,请说明理由.
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如图,已知圆,经过椭圆的右焦点F及上顶点B,过圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于C,D两点,
(1)求椭圆的方程;
(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部,求m的取值范围.
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已知椭圆的两个焦点分别为和,离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线()与椭圆交于、两点,线段 的垂直平分线交轴于点,当变化时,求面积的最大值.
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如图,已知椭圆的左、右焦点分别
为,其上顶点为已知是边长为的正三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点任作一动直线交椭圆于两点,记.若在线段上取一点,使得,当直线运动时,点在某一定直线上运动,求出该定直线的方程.
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已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆相交于、两点,且,试判断的面积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由.
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