已知椭圆C:(
)的离心率为
,点(1,
)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的两条切线交于点M(4,),其中
,切点分别是A、B,试利用结论:在椭圆
上的点(
)处的椭圆切线方程是
,证明直线AB恒过椭圆的右焦点
;
(3)试探究的值是否恒为常数,若是,求出此常数;若不是,请说明理由.
(1) ;(2)参考解析;(3)
解析试题分析:(1)由离心率为,点(1,
)在椭圆C,根据椭圆方程的等量关系即可求出
的值,即得到椭圆方程.
(2)由椭圆切线方程是,又因为切点分别为A,B.所以带入A,B两点的坐标,即可得到两条切线方程,又因为这两条切线过点M,代入点M的坐标,即可得经过A,B的直线方程,根据右焦点
的坐标即可得到结论.
(3)由(2)可得直线AB的方程,联立椭圆方程,利用韦达定理,两点的距离公式表达出,通过运算即可得到结论.
(1)设椭圆C的方程为(
)
①
点(1,
)在椭圆C上,
②,
由①②得:椭圆C的方程为
, 4分
(2)设切点坐标,
,则切线方程分别为
,
.
又两条切线交于点M(4,),即
,
即点A、B的坐标都适合方程,显然对任意实数
,点(1,0)都适合这个方程,
故直线AB恒过椭圆的右焦点. 7分
(3)将直线的方程
,代入椭圆方程,得
,即
所以,
10分
不妨设,
,
同理
所以=
=
所以的值恒为常数
. 13分
考点:1.椭圆的方程.2.直线与圆的位置关系.3.构造概括的能力.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分13分)
已知双曲线的两条渐近线分别为
.
(1)求双曲线的离心率;
(2)如图,为坐标原点,动直线
分别交直线
于
两点(
分别在第一,四象限),且
的面积恒为8,试探究:是否存在总与直线
有且只有一个公共点的双曲线
?若存在,求出双曲线
的方程;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆的圆心在坐标原点
,且恰好与直线
相切,设点A为圆上一动点,
轴于点
,且动点
满足
,设动点
的轨迹为曲线
(1)求曲线C的方程,
(2)直线l与直线l,垂直且与曲线C交于B、D两点,求△OBD面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,原点为
,抛物线
的方程为
,线段
是抛物线
的一条动弦.
(1)求抛物线的准线方程和焦点坐标
;
(2)若,求证:直线
恒过定点;
(3)当时,设圆
,若存在且仅存在两条动弦
,满足直线
与圆
相切,求半径
的取值范围?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:的离心率为
,短轴一个端点到右焦点的距离为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线与椭圆C交于A、B两点,以
弦为直径的圆过坐标原点
,试探讨点
到直线
的距离是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,设抛物线:
的焦点为
,准线为
,过准线
上一点
且斜率为
的直线
交抛物线
于
,
两点,线段
的中点为
,直线
交抛物线
于
,
两点.
(1)求抛物线的方程及
的取值范围;
(2)是否存在值,使点
是线段
的中点?若存在,求出
值,若不存在,请说明理由.
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