在平面直角坐标系中,原点为
,抛物线
的方程为
,线段
是抛物线
的一条动弦.
(1)求抛物线的准线方程和焦点坐标
;
(2)若,求证:直线
恒过定点;
(3)当时,设圆
,若存在且仅存在两条动弦
,满足直线
与圆
相切,求半径
的取值范围?
(1)准线方程:,焦点坐标
;(2)证明见解析;(3)
.
解析试题分析:(1)根据抛物线标准方程确定焦点在哪个轴上及开口方向,焦点为,准线方程为
;(2)本题实质是直线与抛物线相交问题,一般是设直线
方程为
,与抛物线方程联立方程组,消去
可得
,再设
,则有
,
,而
,把刚才求出的
代入可得
的关系,本题中求得
为常数,因此直线
A一定过定点
;(3)由(2)利用
可求出
的关系式,
,则
,而直线
与圆相切,则圆心到直线的距离
等于圆的半径
,即
,由题意,作为关于
的方程,此方程只有两解,设
,则有
,由于
在
时是减函数,且
,即函数
在
时递减
,在
时递增
,因此为了保证
有两解,即
只有一解,故要求
.
试题解析:(1)准线方程: +2分 焦点坐标:
+4分
(2)设直线方程为
,
得
+6分
+8分
直线
过定点(0,2) +9分
(3)
+11分
+12分
令
当
时,
单调递减,
+13分
当时,
单调递增,
+14分
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图5,为坐标原点,双曲线
和椭圆
均过点
,且以
的两个顶点和
的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1)求的方程;
(2)是否存在直线,使得
与
交于
两点,与
只有一个公共点,且
?证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线的两个焦点为
、
点
在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程;
(2)记O为坐标原点,过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,若△OEF的面积为求直线l的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知椭圆
∶
的左、右焦点分别
、
焦距为
,且与双曲线
共顶点.
为椭圆
上一点,直线
交椭圆
于另一点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点的坐标为
,求过
、
、
三点的圆的方程;
(3)若,且
,求
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的一个焦点为
,且离心率为
.
(1)求椭圆方程;
(2)斜率为的直线
过点
,且与椭圆交于
两点,
为直线
上的一点,若△
为等边三角形,求直线
的方程.
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已知椭圆C:(
)的离心率为
,点(1,
)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的两条切线交于点M(4,),其中
,切点分别是A、B,试利用结论:在椭圆
上的点(
)处的椭圆切线方程是
,证明直线AB恒过椭圆的右焦点
;
(3)试探究的值是否恒为常数,若是,求出此常数;若不是,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知A、B为抛物线C:y2 = 4x上的两个动点,点A在第一象限,点B在第四象限l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切,P为l1、l2的交点.
(1)若直线AB过抛物线C的焦点F,求证:动点P在一条定直线上,并求此直线方程;
(2)设C、D为直线l1、l2与直线x = 4的交点,求面积的最小值.
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已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,离心率为
,它的一个焦点恰好与抛物线
的焦点重合.
求椭圆的方程;
设椭圆的上顶点为,过点
作椭圆
的两条动弦
,若直线
斜率之积为
,直线
是否一定经过一定点?若经过,求出该定点坐标;若不经过,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知圆E ,点
,P是圆E上任意一点.线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.
(1)求动点Q的轨迹的方程;
(2)点,
,点G是轨迹
上的一个动点,直线AG与直线
相交于点D,试判断以线段BD为直径的圆与直线GF的位置关系,并证明你的结论.
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