Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆∶的左、右焦点分别、焦距为，且与双曲线共顶点．为椭圆上一点，直线交椭圆于另一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点的坐标为，求过、、三点的圆的方程；
（3）若，且，求的最大值．

Answer 1

（1）（2）；（3）

解析试题分析：（1）由题易得椭圆中，可得椭圆方程；
（2）因为点的坐标为，故，可得的方程为，联立
直线方程和椭圆方程得，，可得圆心坐标和半径，则圆的方程可求；
（3）由题，设，，
可得，将其代入椭圆方程解得  ，，
由，，即得的最大值
1）解：由题意得,故椭圆的方程为．
（2）因为所以的方程为
由 解得点的坐标为． 因为所以为直角三角形
因为的中点为，，
所以圆的方程为.
（3）设，则， 
因为 ，所以即
所以解得  
所以 
 
因为 ，所以，当且仅当，即时，取等号．
最大值为．            
考点：椭圆的标准方程，圆的标准方程，直线与圆的位置关系，基本不等式