已知椭圆的一个焦点为,且离心率为.
(1)求椭圆方程;
(2)斜率为的直线过点,且与椭圆交于两点,为直线上的一点,若△为等边三角形,求直线的方程.
(1);(2)直线的方程为,或.
解析试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程以及几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、两点间距离公式、直线的方程等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用椭圆的标准方程中a,b,c的关系,焦点坐标,离心率列出方程组,解出a和b,从而得到椭圆的标准方程;第二问,点斜式设出直线方程,由于直线与椭圆交于A,B,则直线与椭圆方程联立消参得到关于x的方程,设出A,B点坐标,利用韦达定理,得到,,再结合两点间距离公式求出的长,利用中点坐标公式得出AB中点M的坐标,从而求出|MP|的长,利用为正三角形,则,列出等式求出k的值,从而得到直线的方程.
(1)依题意有,.
可得,.
故椭圆方程为. 5分
(2)直线的方程为.
联立方程组
消去并整理得.
设,.
故,.
则.
设的中点为.
可得,.
直线的斜率为,又 ,
所以.
当△为正三角形时,,
可得,
解得.
即直线的方程为,或. 13分
考点:椭圆的标准方程以及几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、两点间距离公式、直线的方程.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(14分)(2011•广东)在平面直角坐标系xOy中,直线l:x=﹣2交x轴于点A,设P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP.
(1)当点P在l上运动时,求点M的轨迹E的方程;
(2)已知T(1,﹣1),设H是E上动点,求|HO|+|HT|的最小值,并给出此时点H的坐标;
(3)过点T(1,﹣1)且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点,求直线l1的斜率k的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
过抛物线C:上的点M分别向C的准线和x轴作垂线,两条垂线及C的准线和x轴围成边长为4的正方形,点M在第一象限.
(1)求抛物线C的方程及点M的坐标;
(2)过点M作倾斜角互补的两条直线分别与抛物线C交于A,B两点,如果点M在直线AB的上方,求面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,原点为,抛物线的方程为,线段是抛物线的一条动弦.
(1)求抛物线的准线方程和焦点坐标;
(2)若,求证:直线恒过定点;
(3)当时,设圆,若存在且仅存在两条动弦,满足直线与圆相切,求半径的取值范围?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线的方程为,直线的方程为,点关于直线的对称点在抛物线上.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知,求过点及抛物线与轴两个交点的圆的方程;
(3)已知,点是抛物线的焦点,是抛物线上的动点,求的最小值及此时点的坐标;
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(2011•山东)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆.如图所示,斜率为k(k>0)且不过原点的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线x=﹣3于点D(﹣3,m).
(1)求m2+k2的最小值;
(2)若|OG|2=|OD|?|OE|,
(i)求证:直线l过定点;
(ii)试问点B,G能否关于x轴对称?若能,求出此时△ABG的外接圆方程;若不能,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
长方形中,,.以的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系.
(1) 求以、为焦点,且过、两点的椭圆的标准方程;
(2) 过点的直线交(1)中椭圆于两点,是否存在直线,使得以线段为直径的圆恰好过坐标原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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