已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,离心率为
,它的一个焦点恰好与抛物线
的焦点重合.
求椭圆的方程;
设椭圆的上顶点为,过点
作椭圆
的两条动弦
,若直线
斜率之积为
,直线
是否一定经过一定点?若经过,求出该定点坐标;若不经过,请说明理由.
(1);(2)恒过一定点
.
解析试题分析:(1)可设椭圆方程为,因为椭圆的一个焦点恰好与抛物线
的焦点重合,所以
,又
,所以
,又因
,得
,所以椭圆方程为
;
(2)由(1)知,当直线
的斜率不存在时,可设
,设
,则
,
易得,不合题意;故直线
的斜率存在.设直线
的方程为:
,(
),并代入椭圆方程,得:
①,设
,则
是方程①的两根,由韦达定理
,由
,利用韦达定理代入整理得
,又因为
,所以
,此时直线
的方程为
,即可得出直线
的定点坐标.
(1)由题意可设椭圆方程为,
因为椭圆的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合,所以
,
又,所以
,
又因,得
,
所以椭圆方程为;
(2)由(1)知,
当直线的斜率不存在时,设
,设
,则
,
,不合题意.
故直线的斜率存在.设直线
的方程为:
,(
),并代入椭圆方程,得:
①
由得
②
设,则
是方程①的两根,由韦达定理
,
由得:
,
即,整理得
,
又因为,所以
,此时直线
的方程为
.
所以直线恒过一定点
考点:椭圆的标准方程;圆锥曲线的定点问题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线C:的焦点为F,直线
与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且
.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线
与C相较于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求
的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,原点为
,抛物线
的方程为
,线段
是抛物线
的一条动弦.
(1)求抛物线的准线方程和焦点坐标
;
(2)若,求证:直线
恒过定点;
(3)当时,设圆
,若存在且仅存在两条动弦
,满足直线
与圆
相切,求半径
的取值范围?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(2011•山东)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆.如图所示,斜率为k(k>0)且不过原点的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线x=﹣3于点D(﹣3,m).
(1)求m2+k2的最小值;
(2)若|OG|2=|OD|?|OE|,
(i)求证:直线l过定点;
(ii)试问点B,G能否关于x轴对称?若能,求出此时△ABG的外接圆方程;若不能,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:的离心率为
,短轴一个端点到右焦点的距离为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线与椭圆C交于A、B两点,以
弦为直径的圆过坐标原点
,试探讨点
到直线
的距离是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在直线y = -3上,M点满足,
,M点的轨迹为曲线C。
(1)求C的方程;
(2)P为C上的动点,l为C在P点处得切线,求O点到l距离的最小值。
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆C1:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为为
,
恰是抛物线C2:
的焦点,点M为C1与C2在第一象限的交点,且|MF2|=
.
(1)求C1的方程;
(2)平面上的点N满足,直线l∥MN,且与C1交于A,B两点,若
,求直线l的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知,
,
,
分别是椭圆
的四个顶点,△
是一个边长为2的等边三角形,其外接圆为圆
.
(1)求椭圆及圆
的方程;
(2)若点是圆
劣弧
上一动点(点
异于端点
,
),直线
分别交线段
,椭圆
于点
,
,直线
与
交于点
.
(ⅰ)求的最大值;
(ⅱ)试问:..,
两点的横坐标之和是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com