如图5,为坐标原点,双曲线
和椭圆
均过点
,且以
的两个顶点和
的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1)求的方程;
(2)是否存在直线,使得
与
交于
两点,与
只有一个公共点,且
?证明你的结论.
(1) (2)不存在
解析试题分析:(1)利用正方形面积为2,即可得到对角线的长为2,则可得的两个顶点和
的两个焦点的坐标,求的
的值,再结合点
在双曲线上,代入双曲线结合
之间的关系即可求的
的值,得到双曲线的方程,椭圆的焦点坐标已知,点
在椭圆上,利用椭圆的定义
即为
到两焦点的距离之和,求出距离即可得到
的值,利用
之间的关系即可求出
的值,得到椭圆的标准方程.
(2)分以下两种情况讨论,当直线的斜率不存在时,直线
与
只有一个公共点,即直线经过
的顶点,得到直线
的方程,代入双曲线求的
点的坐标验证是否符合等式
,当直线
的斜率存在时,直线
的方程为
,联立直线
与双曲线消元得到二次方程,再利用根与系数之间的关系得到关于
两点横纵坐标之和的表达式,利用
出
,再立直线
与椭圆的方程
即可得到
直线的关系,可得到内积
不可能等于0,进而得到
,即
,即不存在这样的直线.
的焦距为,由题可得
,从而
,因为点
在双曲线
上,所以
,由椭圆的定义可得
,于是根据椭圆
之间的关系可得
,所以
的方程为
.
(2)不存在符合题设条件的直线.
①若直线垂直于
轴,即直线
的斜率不存在,因为
与
只有一个公共点,所以直线的方程为
或
,
当时,易知
所以
,此时
.
当时,同理可得
.
②当直线不垂直于
轴时,即直线
的斜率存在且设直线
的方程为
,联立直线与双曲线方程
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4.
(1)求曲线C的方程;
(2)设曲线C与x轴负半轴交点为A,过点M(-4,0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点(B在M、C之间),N为BC中点.
(ⅰ)证明:k·kON为定值;
(ⅱ)是否存在实数k,使得F1N⊥AC?如果存在,求直线l的方程,如果不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆E:+
=1(a>b>0)的上焦点是F1,过点P(3,4)和F1作直线PF1交椭圆于A,B两点,已知A(
,
).
(1)求椭圆E的方程;
(2)设点C是椭圆E上到直线PF1距离最远的点,求C点的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知F1,F2是椭圆C:+
=1(a>b>0)的左、右焦点,点P(-
,1)在椭圆上,线段PF2与y轴的交点M满足
+
=0.
(1)求椭圆C的方程;
(2)椭圆C上任一动点N(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为N1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分13分)
已知双曲线的两条渐近线分别为
.
(1)求双曲线的离心率;
(2)如图,为坐标原点,动直线
分别交直线
于
两点(
分别在第一,四象限),且
的面积恒为8,试探究:是否存在总与直线
有且只有一个公共点的双曲线
?若存在,求出双曲线
的方程;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
圆的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线
过点P且离心率为
.
(1)求的方程;
(2)椭圆过点P且与
有相同的焦点,直线
过
的右焦点且与
交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆心过点P,求
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线C:的焦点为F,直线
与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且
.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线
与C相较于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,原点为
,抛物线
的方程为
,线段
是抛物线
的一条动弦.
(1)求抛物线的准线方程和焦点坐标
;
(2)若,求证:直线
恒过定点;
(3)当时,设圆
,若存在且仅存在两条动弦
,满足直线
与圆
相切,求半径
的取值范围?
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